Pensando Sobre Matemática #32 - Entendendo o Cálculo

E vamos pensar sobre matemática novamente! Hoje eu vou falar sobre um assunto que assola a todas as pessoas que vão entrar em uma faculdade de exatas!

Acho que a logo do blog já deve dar uns calafrios, mas ligue o seu javascript pois o assunto é Cálculo!

Antes que você continue sua leitura, eu devo fazer um aviso. Eu não vou fazer você tirar 10 na sua prova de cálculo. A única pessoa capaz de fazer isso é você fazendo uma boa quantidade de exercícios. Isso é porque o jeito que a matéria é cobrada na faculdade difere absurdamente das raízes de sua criação.

Então vamos lá. Eu não vou resolver problema nenhum aqui. Eu só vou discutir alguns conceitos básicos da coisa pra ficar mais fácil de entender quando alguém for te falar alguma coisa, mas as transformações todas ainda serão coisas absurdamente decoradas as quais você tem uma boa chance de lembrar para o resto da vida se você conseguir concluir o estudo desse assunto.

Newton e Leibniz tinham alguns problemas em mãos, como todo bom físico ou matemático. Só que eles pensaram de uma forma mais chata do que a maioria das pessoas pensaria. Eles resolveram pensar em superposição de coisas miúdas. Afinal se você quer calcular uma área e não sabe, por que você não divide essa coisa em outras menores cuja área você sabe calcular e depois soma tudo? Parece meio óbvio não é?

Só que isso jamais seria uma coisa prática. Imagine se para calcular o comprimento de uma curva você tivesse sempre que subdividí-la e medir os pedacinhos pra depois juntar tudo? Isso fica impraticável a não ser que você comece a fazer uma porrada de pedacinhos e acabe esbarrando em um padrão.

Ok. Eu não sei se foi assim que aconteceu mas a idéia do cálculo é basicamente essa. Você pensar nas coisas em pedacinhos e depois juntá-las. Tudo isso foi formalizado mais tarde com a idéia de limite. Que hoje em dia é a primeira coisa que eles tentam te ensinar em Cálculo I mas você não consegue entender. Eu não entendo o limite direito, mas ele só existe pra explicar porquê a coisa funciona. Não é a toa que a derivada e a integral são definidas da seguinte forma: $$\mathrm{f\text{'}}\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{(a+h)-<mi>a</mi>}$$ $${{\int }_a}^{b}f\left(k\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=0}^{n}f(a+(i.\frac{b-a}{n}\left)\right).\frac{b-a}{n}$$ A primeira equação é a derivada e a segunda é a integral. Não está demonstrado como uma operação é a inversa da outra mas você precisa de outros resultados para tal. A princípio fique apenas com essas equações e essas notações na cabeça ok?

Não sei se você notou mas isso é uma análise do que acontece com uma variável quando ela depende de outra. Quando o denominador de uma divisão é 0 ela não pode ser feita, mas quando ele tende para 0 a idéia muda de jeito e aí dependendo de como o numerador e o denominador forem, a divisão vai poder ser feita e em alguns casos ela vai ter sempre o mesmo valor. Da mesma forma é impossível executar uma soma infinita. Nesse caso não é por causa de uma regra específica mas sim porque é impraticável, mas as vezes esses somatórios convergem para um valor e ás vezes é possível prever esse valor. Vai depender muito do somatório que se está analisando.

E o limite serve justamente para analisar essas tendências, que não são da moda, mas fazem as coisas funcionarem. Quando estamos analisando o limite de uma coisa, não necessariamente precisamos igualar o valor da variável ao limite desejado, mas é uma técnica que funciona na maioria das vezes. Por exemplo: $$\underset{n\to 1}{\lim }\frac{8}{n}=8$$ Isso porque quando "n" é 1, o valor daquela fração é de fato 8, mas se você tenta jogar "n" pra 0 você não pode executar essa divisão, mas quando n é um valor absurdamente próximo de 0, você pode dizer que existe um inverso multiplicativo dele. Quanto menor esse inverso, mais próximo do infinito a coisa fica, daí dizemos: $$\underset{n\to 0}{\lim }\frac{8}{n}=\infty$$ Da mesma forma, quando você está picotando um barbante, supondo que você pode picar ele o quão pequeno você queira, quanto mais pedaços de barbante você quiser obter menor será o comprimento que você deverá cortar. Suponha que você queira muitos deles. Na verdade você sabe que quanto mais deles, menor vai ser o comprimento das coisas. Então se você tem infinitos pedacinhos o seu tamanho do pedacinho vai tender para: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8}{n}=0$$ Vai tender pra 0mm de barbantinho.

O grande barato é: O cálculo é assim e a vida real também. A solução das coisas geralmente é feita a partir da junção de várias outras ou da divisão do problema em diversos pequenos probleminhas. O limite formaliza as definições quando as coisas vão para o infinito apenas na matemática. E esse é o legal dessa disciplina: aprender a pensar de forma escalável e analítica.

Mas pra passar na prova é só fazendo exercício mesmo. Não tem jeito.