Pensando Sobre Matemática #30 - Probabilidade #2

Qual é a probabilidade de um ninja na imagem abaixo ser o Scorpion!?

Se você não sabe, ligue o Javascript, e vamos com o MathJax solucionar essa charada.

Eu já falei um pouco sobre probabilidade anteriormente e você pode conferir aqui que nós não vamos fugir. Estaremos te esperando, e até vamos responder a pergunta feita anteriormente! Caso você ache que está pronto, siga em frente!

Então, se você está nos acompanhando. Notou que eu falei sobre espaço amostral sem definir o que ele é e pra que ele serve. Dei até uma leve noção, mas vamos dar uma formalizada aqui.

O espaço amostral é o conjunto de todos as situações possíveis de se ocorrer sobre o que está sendo analisado. Note que eu frisei a palavra conjunto, isso é porque não podem existir elementos repetidos no espaço amostral. Todas as possibilidades são distintas.

Note que o espaço amostral não possui eventos! Eventos são perguntas feitas sobre o espaço amostral. Se nós lançarmos um dado de 4 faces nós teremos 4 situações possíveis. Porém podemos pensar em vários eventos distintos. Um evento seria o lance ter um resultado par. Outro evento seria o lance ter um valor maior do que 2. Obviamente um evento possível é o lance ser exatamente uma das situações distintas, e esse evento tem um nome especial: Evento Simples. Isso é extremamente importante para entendermos o espaço amostral e o evento do problema anterior.

Recapitulando: Eu jogo dois dados de 4 faces. Qual é a probabilidade do resultado dos lances serem distintos? Antes de começar, eu vou reescrever a pergunta e o espaço amostral. $$P(\mathrm{d1}\ne \mathrm{d2})=?$$ $$\Omega =\left\{\right(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4\left)\right\}$$ Agora vamos esclarecer uma coisa aqui. O que você coloca no espaço amostral devem ser elementos que lhe ajudem a identificar unicamente todas as situações possíveis. Como eu estou lançando dois dados, eu resolvi usar um par ordenado com números de 1 a 4, sendo que o primeiro número é o resultado do primeiro dado e o segundo número o resultado do segundo dado. Você pode notar isso pela forma com a qual eu evidencio os elementos da pergunta. Eu poderia ser ainda mais burocrático e escrever os elementos do espaço amostral como o exemplo do resultado (1, 1) abaixo: $$(\mathrm{d1},\mathrm{d2}),\mathrm{d1}=1,\mathrm{d2}=1$$ Só que isso não é prático. E é muito comum nós observamos espaços amostrais muito confusos, porém muito práticos para as pessoas que já estão acostumadas. E dependendo do evento que se quer analisar, é muito normal existirem espaços amostrais reduzidos. Nesse problema eu quero saber apenas se o resultado do primeiro dado é diferente do segundo. Então você pode analisar isso a partir do seguinte espaço: $$\Omega =\{\mathrm{Igual},\mathrm{Diferente}\}$$ Lembra que eu falei que o elemento do espaço amostral não é um evento, mas pode ser tratado como um? Pois é. Se você observar bem o problema você vai reparar o seguinte: $$P\left(\mathrm{Diferente}\right)=\mathrm{0,75}$$ $$P\left(\mathrm{Igual}\right)=\mathrm{0,25}$$ Existem mais regras permeando o espaço amostral. Uma delas é que as situações quando tratadas como eventos não podem se sobrepôr. É por isso que a probabilidade dos lances serem iguais é o complemento da probabilidadade de eles serem diferentes. O que nós leva a outra propriedade quando você pega todos os elementos do espaço amostral e os trata como eventos distintos $$P\left(\bigcup _{e\in \Omega }\right)=1$$ O que eu quero dizer com essa expressão é: sempre vai acontecer alguma coisa dentro do espaço amostral, então a probabilidade de ocorrer um evento que seja o resultado de qualquer situação vai ser sempre 1. Que é o maior valor de probabilidade possível.

Mas existe mais uma coisa também! Os elementos do espaço amostral são sempre excxlusivos, ou seja, se: $$\Omega =\{E,F,\mathrm{...}\}$$ Então: $$P(E\cap F)=0$$ Em outras palavras, os elementos do espaço amostral podem ser interpretados como eventos independentes, e a propriedade de eventos independentes foi citada logo acima. Podemos até escrever matemáticamente: $$\mathrm{Independência}\iff P(E\cap F)=0$$ Note também que geralmente construímos o espaço amostral pensando em alguma propriedade específica. Quando eu construí aquele espaço com apenas duas situações, eu estava focado em olhar para o problema de uma forma condensada, porém quando eu escrevi aquele espaço maior, que foi o primeiro a ser escrito, eu estava pensando no fato dos dados serem honestos. Se os dados forem honestos então é certo que a probabilidade de ocorrer qualquer um dos eventos naquele espaço é 1/16. E é justamente isso, junto com a propriedade da independência entre todos os eventos simples dentro do espaço, que me permite rapidamente calcular a probabilidade de eles serem diferentes ou iguais.

E é por isso que análise combinatória anda de mãos dadas com a probabilidade. Geralmente queremos achar a probabilidade de ocorrer um evento específico de uma combinação de coisas. Não é de se admirar que estejam tão próximas.

E então por hoje é isso! Não sei quando farei o próximo artigo sobre probabilidade, mas espero que isso os ajude a ter uma melhor noção do que ela é capaz de fazer para que você possa utilizá-la também.