Pensando Sobre Matemática #35 - Função do Primeiro Grau

E continuamos dissertando sobre funções conhecidas!

E agora vamos falar finalmente sobre essa coisa na imagem! Ligue o javascript pra ativar o MathJax e vambora!

Se você perdeu a primeira parte de funções de números reais, aproveita pra dar uma lida aqui. A gente não vai correr, mas não garantimos que você não vá fazê-lo.

Essa imagem é a representação de uma função do primeiro grau no plano cartesiano. e uma função do primeiro grau tem essa cara aqui ó: $$y\left(x\right)=a.x+b$$ E essa função aparece muitas vezes nas nossas vidas porque ela simboliza aquilo que a gente aprendeu a muito tempo na escola, que é uma proporção direta. Só que essa expressão consegue captar os conceitos de proporção de uma forma um pouco mais geral.

E mais, no plano cartesiano, essas funções representam retas, portanto elas são essenciais para se fazer geometria analítica. Se você um dia for trabalhar com computaçao gráfica, você vai ter que entendê-las. Não tem jeito. E entendê-las, nesse caso, significa explorar as suas propriedades especiais para conseguir resultados interessantes.

Então vamos quebrar aqui os termos interessantes.

• x - Variável livre. Aquela que você vai substituir valores arbitrários.
• a - Coeficiente linear. Constante. O multiplicador da proporção
• b - Constante. Definição inicial.
• y - Variável dependente. Aquela cujo valor depende de x

Existe uma coisa importante a ser frisada. Apesar de matemáticamente utilizarmos essas letras para as variáveis, isso não significa que todos os problemas do mundo irão aparecer assim. A equação do movimento uniforme na física tem a mesma cara mas usa letrinhas diferentes. Repare: $$S\left(t\right)=S_0+v.t$$ Um exercício nesse caso é mapear as letras dessa equação na forma apresentada no início. A partir do resto do texto, iremos considerar a forma da primeira equação. Ok?

Outra coisa importante de ser lembrada é que estamos pensando no conjunto de todos os números reais. Então se você olhar para o plano cartesiano você vai obter uma reta infinita. Para você conseguir um segmento de reta você tem que pegar um intervalo definido de números.

Então, o que há de interessante nessa função? Bom, a primeira coisa que podemos dizer é que é bem fácil você achar o valor de "y" para qualquer valor de "x". Só que isso não é tão útil.

Mas existe algo bem melhor que isso. Você pode definir uma função do primeiro grau inteira com apenas dois pontos dela. E existe uma forma mágica se fazer isso. É só você colocar as coisas numa tabela assim: Suponha que você conheça a função avaliada nos seguintes pontos $$y\left(2\right)=5$$ $$y\left(7\right)=\mathrm{25}$$ A sua função terá a seguinte cara: $$a=\frac{\mathrm{25}-5}{7-2}$$ $$b=5-a.2$$ Pronto.

Sim. Isso é tudo, você consegue calcular o coeficiente linear e a constante através de dois pontos. Basta fazer em sequência o cálculo do valor de "a" e depois finalizar com o cálculo do valor de "b". Note que após calcular "a" você tem dois pontos de onde você pode calcular "b", e muitos problemas de funções são a respeito de achar valores de constantes e coeficientes que gerem valores específicos.

Mas isso provavelmente não é o suficiente. Precisamos de mais. O que mais podemos tirar dessa função que não parece extremamente óbvio? Ah sim, as relações da função com o plano. Tem duas coisas bem ridículas que são pontos da função que estão posicionados no eixo. $$y\left(0\right)=b$$ $$y=0\to x=-\frac{b}{a}$$ E por fim, a reta forma um ângulo com o eixo horizontal. Esse ângulo é medido a partir do eixo rodando em sentido anti-horário, e entre esse ângulo e a função existe a seguinte relação. $$a=\mathrm{tg}\left(\theta \right)$$ E isso é tudo!

Sério, acabou mesmo. A gente se vê na segunda!