Pensando Sobre Matemática #34 - Funções de Números Reais #1

E lá vamos nós pensar sobre matemática! E dessa vez nós vamos tentar uma abordagem um pouco mais prática.

Isso não significa que eu irei adicionar praticidade a sua vida. Ligue seu Javascript e vamo nessa que é bom a beça!

E vamos falar sobre funções de números reais como diz o título. Se você lembra da nossa aula de funções vai pescar rapidamente a seguinte expressão: $$f:R\to R$$ Favor tratar esses "R" maiúsculos como o conjunto dos números reais.

O que eu estou fazendo ali é definindo uma função de números reais para números reais. Lembrando todas aquelas propriedades de funções, podemos já classificar o conjunto R como sendo tanto o domínio quanto a imagem das funções. Algumas vezes nós limitamos um pouco o conjunto e trabalhamos com subconjuntos dos reais, porém a generalização vai ser bem aceita porque a gente vai falar sobre uma função bem específica. A gente vai falar sobre a função do primeiro grau.

Não é bem que função tenha grau, mas se você acompanhar a história da matemática você vai ver que o primeiro tipo de função que foi estudada amplamente foram os polinômios. E eles foram tão estudados que até mesmo depois do surgimento do cálculo, todo mundo ainda tenta trazer tudo para o mundo dos polinômios que é um universo que já foi amplamente estudado e que todo mundo acha que conhece, mesmo isso não sendo verdade o tempo todo. Você provavelmente se perdeu nesse monte de coisa que eu falei. Então vamos definir algumas coisas aqui:

Um polinômio é uma expressão matemática onde todas as variáveis aparecem sendo multiplicadas por constantes e então somadas. Coisas do tipo: $$2x+y$$ $$\frac{x}{2}+y+z^3+x^2-y^2{z}^2$$ E essas coisas tem grau. E o grau é relativamente fácil de calcular. Quando você tem uma variável só, o grau é o maior expoente com a qual essa variável aparece, independentemente das constantes que as multiplicam. Quando tem mais de uma letra você tem que olhar parcela a parcela para encontrar qual delas tem a maior soma de expoentes. No segundo exemplo, o último termo tem a soma de expoentes igual a 4. Portanto o grau do polinômio é 4.

Tente achar o grau desse. A resposta vai estar no final do post. $$\frac{y}{2}+x+z^3-x^{2}z+x{y}^{2}z$$ Só que a gente tá pensando em função do primeiro grau! Isso quer dizer que a função pode ser escrita como um polinômio do primeiro grau. Um exemplo é esse aqui: $$y=4x+2$$ Só que essa é uma definição um pouco ambígua porque isso aí é uma equação de duas variáveis bem explícita. Tudo bem que você pode equacionar funções e isso não é nada absurdo. É bem comum até. Só que nesse caso aí, apesar de eu saber que você está caracterizando funções, a coisa não está bem explícita, então é por isso que quando trabalhamos com funções nós usamos a seguinte notação: $$y\left(x\right)$$ E aí a gente consegue clarear a definição de que eu estou tratando y como uma função de x. Em outras palavras, y não deixa de ser uma variável, até porque uma função pode ser entendida como uma variável mais fresca, só que a gente está explicitando que ele vai ser quem varia de acordo com a outra, e aí a gente pode equacionar. $$y\left(x\right)=4x+2$$ Note que, eu nunca precisaria equacionar se eu fosse capaz de especificar a função elemento por elemento do domínio dos números reais. Só que se você já tem uma noção mais legal já saberia que isso é ridiculamente difícil para os números racionais, e efetivamente impossível para os números reais. Então você define as suas funções através de padrões ou conjuntos de padrões, o que é demonstrado pela equação acima. Você utiliza uma expressão matemática e cria uma função bem definida no domínio.

O lance é que essa função aparece constantemente no nosso dia a dia. Na verdade a função de primeiro grau é simplesmente uma forma muito mais bonita de dizer proporção. O que é legal é que a partir daí podemos dar passos para analisar funções mais complicadas e tirar mais propriedades delas. Como a representação gráfica da função no plano cartesiano representa uma reta, essa função acaba sendo extremamente importante para a geometria analítica. Eu, que estou concluindo o curso de ciência da computação, a vejo todo o dia. Não pense que ela é inútil.

Mas ela é simples. E tem algumas propriedades interessantes. Por exemplo, se eu te disser que y é uma função do primeiro grau de x e te der dois pontos pontos onde a função está definida, você é capaz de descobrir a função original. Funções de números reais são uma grande e importante herança da matemática. Entendê-las é bastante importante se você quer entrar no mundo das ciências exatas.

Eu vou ficar por aqui, mas eu espero falar sobre funções mais vezes! Até a próxima!

A propósito, o grau da equação é 4.