Pensando Sobre Matemática #29 - Probabilidade

O mundo é incerto! Não dá pra saber o que vai acontecer no futuro!

Tipo esse gráfico. Não da pra entender nada dele. Então ative o Javascript e vambora com o MathJax!

Mas hoje não estamos afim de acreditar no princípio da causalidade, até porque você não precisa da causalidade para aplicar o misterioso, porém bastante conhecido, campo das probabilidades. Que é uma teoria relativamente simples até mas que engloba bastante coisa e é bastante aplicado. Eu falei um pouco sobre criptografia aqui, mas não cheguei a mencionar a importância da probabilidade nela. Talvez eu não mencione aqui diretamente, mas saiba que a probabilidade é importante na criptografia.

Mentira, eu vou explicar sim. Isso porque essa é uma aplicação da probabilidade que é completamente independente do princípio da causalidade. Se você não sabe o que é o princípio da causalidade, saiba que é basicamente o fato de todo o evento na verdade ser consequência de uma causa.

Então vamos lá. Porque probabilidade é importante na criptografia? Isso obviamente tem a ver com o método de encriptação. A brincadeira da criptografia é basicamente a seguinte, você coloca uma mensagem em uma caixa preta e ela te cospe uma mensagem decodificada, mais ou menos assim. $$\mathrm{Encripta}\left({\mathrm{Msg}}_{\mathrm{original}}\right)={\mathrm{Msg}}_{\mathrm{encriptada}}$$ Agora que começa a parte difícil. Pois quando a pessoa olha a mensagem encriptada ela pode conseguir alguma informação. Isso significa que métodos probabilísticos e heurísticos como contagem de frequência não vão dar nenhuma informação específica sobre a mensagem.

Opa, eu li probabilístico aí. E isso lembra probabilidade. Hmmmmm...

Ok, então como funciona a probabilidade? Probabilidades são funções sobre objetos que chamaremos de eventos. Esses eventos podem ser muitas coisas. Desde a chance de uma criança nascer com os olhos azuis até a chance uma variável x ser menor do que 4. Em termos de função, se chamamos um evento de "E" teremos P(E) como a probabilidade desse evento E acontecer. E existe algumas regras rodeando isso. Eu vou escrever primeiro na forma matemática, depois eu vou traduzir pro português: $$0\le P\left(E\right)\le 1$$ $$P\left(\stackrel{\_}{E}\right)=1-P\left(E\right)$$ São duas regras em forma de uma. A probabilidade de um evento E acontecer deve ser um valor entre 0 e 1. Sendo que se a probabilidade é 0 o evento certamente não acontece e se a probabilidade é 1 o evento certamente acontece. Note que existe também a probabilidade do evento E não acontecer, que é justamente a probabilidade de qualquer coisa acontecer(1), que não seja E( -P(E) )

Agora, é importante notar que a probabilidade está intimamente ligada com a teoria dos conjuntos porque vários eventos podem estar acontecendo ao mesmo tempo, e a representação é feita justamente com a simbologia de conjuntos, até porque ela vem quase que da simbologia da lógica, por exemplo, se eu quero a expressão lógica do evento E e F, escrevemos: $$E\wedge F$$ A probabilidade de E e F acontecerem se escreve dessa forma: $$P(E\cap F)$$ E pela regra das probabilidades: $$0\le P(E\cap F)\le 1$$ O mesmo vale para o fato do evento E ou do evento F acontecerem, simultâneamente ou não: $$0\le P(E\cup F)\le 1$$ Agora, é importante notar que: $$P(E\cap F)\le P\left(E\right)$$ $$P(E\cup F)\ge P\left(E\right)$$ $$P(E\cup F)=P\left(E\right)+P\left(F\right)-P(E\cap F)$$ Isso é particularmente suficiente. A partir daí vão surgir uma série de truques mais pra facilitar o português da coisa, mas vamos pegar um caso prático. Vamos jogar uns dados aqui, se você entende bem a linguagem dos jogos de RPG eu vou jogar 2d4, se você não entende eu vou jogar dois dados de quatro faces e vou analisar os resultados deles. Só que para os rpgistas, notem que eu vou analisar de uma forma diferente. Eu não vou simplesmente somar. Eu vou montar o que a gente chama de espaço amostral, que é um conjunto com todos os eventos que podem ocorrer na situação que eu estou analisando. Em outras palavras, se eu estou jogando dois dados, eu posso dizer que eu tenho pares ordenados. Meu espaço amostral é o seguinte. $$\Omega =\left\{\right(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4\left)\right\}$$ Olhar o espaço amostral dessa forma me permite observar um espectro muito maior de eventos. Por exemplo eu sei que eu tenho 16 eventos então eu sei que a probabilidade e acontecer qualquer evento isolado é 1/16. Se eu quiser saber por exemplo qual é a probabilidade dos dois dados terem o mesmo resultado eu posso contar quantos eventos tem essa propriedade no espaço amostral e dividir pelo tamanho do espaço(16). eu vou finalizar com uma pergunta, supondo que "d1" seja o resultado do pimeiro dado e "d2" o do segundo dado: $$P(\mathrm{d1}\ne \mathrm{d2})=?$$

imagens:
def.fe.up.pt