Esse aqui todo mundo já ouviu falar.
Até a galera do MathJax já ouviu falar nesse malandro aí.
Vamos lá. Esse cara aí é o tal do Fibonacci. Lenardo Fibonacci de Pisa. Quando era pequeno não tinha muito o que fazer aí ficava estudando matemática, quando cresceu continuou fazendo a mesma coisa pois a zoeira da matemática estava em seu coração.
Até porque, eu acredito que se os BRs usam a espiral de Fibonacci pra fazer memes. Tenho certeza que esse miserável já o fazia em 1700 e sabe-se lá quando.
Eu não vou ficar inventando aquela história dos coelhinhos não. A gente vai entrar direto na matemática dessa coisa. A espiral de Fibonacci é só uma forma bonita de enxergar a sequência de uma forma gráfica. A sequência de Fibonacci na verdade nasce da relação recorrência: Fi+2=Fi+1+Fi Onde os termos iniciais são: F0=0 F1=1 A espiral em si é só pra forma gráfica ficar bonitinha, o que interessa na forma gráfica são os quadrados pelos quais a espiral passa. Note que os lados dos quadrados são a soma dos lados de dois outros quadrados pelo menos menores. Essas somas obedecem a sequência de Fibonacci. Agora vamos voltar pra outras questões da sequência. Vamos praquela que chama mais atenção que é justamente a proporção áurea.
Se você não ouviu falar de proporção áurea, vai ouvir falar agora; ela geralmente é representada pela letra grega Φ, e, assim como o nosso querido π, ele é um número irracional! O valor aproximado para a Φ é 1,618
Mas peraí: Não é proporção áurea? Como assim é proporção então? Bom se você parar pra pensar, π também é uma razão, na verdade é a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Por qual razão Φ também não poderia ser? A sequência de Fibonacci está relacionada com a razão áurea porque a razão entre dois números consecutivos da sequência converge para ela. Convergência sempre tem a ver com limite mas eu vou poupá-los da notação de limite dessa vez. F∞+1F∞=Φ - Sabe qual é a outra coisa legal de Fibonacci? A raiz de 5.
- What?
É porque a fórmula fechada tem essa cara aqui: F(n)=(1+√5)n-(1-√5)n2n.√5 Fórmula fechada? Ah sim, eu falei disso nesse outro post aqui. É porque uma função real que modela uma determinada relação de recorrência mutas vezes é chamada de fórmula fechada. Essa fórmula pode ser provada por indução. Eu não vou demonstrar por indução a fórmula fechada nesse post, mas eu vou mostrar como chegamos nessa fórmula fechada, que por sinal também é conhecida como fórmula de Binet. É importante frisar que eu não faço idéia de como chegaram nessa demonstração antes de mim, só sei como eu cheguei. E se prepare porque tem um passe de mágica pra fechar a demonstração.
Vamos lá. A relação de recorreência acaba que também pode ser escrita da seguinte forma: F(n+2)=F(n+1)+F(n) Subtraindo F(n+1) dos dois lados: F(n+2)-F(n+1)=F(n) Só que esse tipo de coisa, pra um cara que está meio calejado em matemática contínua, lembra muito uma função exponencial, porque, se você enxergar a sequência como função, essa construção vai lembrar muito a derivada de uma função, e essa derivada está sendo expressa como a própria função como uma equação diferencial linear de primeira ordem. Então se a gente supõe: F(n)=an E substitui isso na relação de recorrência, temos: an+2-an+1=an Só que quando a gente divide isso tudo por an, aparece um singelo polinômio. a2-a1=a0 a2-a=1 a2-a-1=0 Em outras palavras é a base da função exponencial de Fibonacci. Só tem um detalhe, o polinômio é do segundo grau, e isso implica dizer que tem duas raízes. E olhando pro Delta, são duas raízes reais e distintas: Δ=1+4=5 a=1±√52 E agora? O que fazer? Ah sei lá, diz que é uma combinação linear dessas duas raízes e vê no que vai dar. F(n)=k1.(1+√52)n+k2.(1-√52)n Pra gente ver no que vai dar, nós vamos precisar verificar esses dois coeficientes desconhecidos, e pra isso nós vamos precisar de duas equações. O que é particularmente fácil uma vez que a gente já conhece a sequência. F0=F(0)=k1.(1+√52)0+k2.(1-√52)0=k1+k2=0 F1=F(1)=k1.(1+√52)1+k2.(1-√52)1=k1+k2+√5.(k1-k2)2=1 k1+k2=0 k1-k2=2√5 Felizmente esse sistema é particularmente fácil de resolver. Eu vou pular a parte da solução de sistemas linears, e dizer direto qual é a resposta. k1=1√5 k2=-1√5 E voilá! fatorando essa coisa aqui: F(n)=1√5.(1+√52)n-1√5.(1-√52)n A gente rapidamente verifica que é a própria fórmula de Binet! F(n)=(1+√5)n-(1-√5)n2n.√5
Ufa! Cansei! Por hoje tá bom!
Imagens:
https://gigantesdamatematica.wordpress.com/2015/12/18/leonardo-fibonacci-1170-1250/
https://www.facebook.com/fibonaccinobrasil/
Até a galera do MathJax já ouviu falar nesse malandro aí.
Vamos lá. Esse cara aí é o tal do Fibonacci. Lenardo Fibonacci de Pisa. Quando era pequeno não tinha muito o que fazer aí ficava estudando matemática, quando cresceu continuou fazendo a mesma coisa pois a zoeira da matemática estava em seu coração.
Até porque, eu acredito que se os BRs usam a espiral de Fibonacci pra fazer memes. Tenho certeza que esse miserável já o fazia em 1700 e sabe-se lá quando.
Eu não vou ficar inventando aquela história dos coelhinhos não. A gente vai entrar direto na matemática dessa coisa. A espiral de Fibonacci é só uma forma bonita de enxergar a sequência de uma forma gráfica. A sequência de Fibonacci na verdade nasce da relação recorrência: Fi+2=Fi+1+Fi Onde os termos iniciais são: F0=0 F1=1 A espiral em si é só pra forma gráfica ficar bonitinha, o que interessa na forma gráfica são os quadrados pelos quais a espiral passa. Note que os lados dos quadrados são a soma dos lados de dois outros quadrados pelo menos menores. Essas somas obedecem a sequência de Fibonacci. Agora vamos voltar pra outras questões da sequência. Vamos praquela que chama mais atenção que é justamente a proporção áurea.
Se você não ouviu falar de proporção áurea, vai ouvir falar agora; ela geralmente é representada pela letra grega Φ, e, assim como o nosso querido π, ele é um número irracional! O valor aproximado para a Φ é 1,618
Mas peraí: Não é proporção áurea? Como assim é proporção então? Bom se você parar pra pensar, π também é uma razão, na verdade é a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Por qual razão Φ também não poderia ser? A sequência de Fibonacci está relacionada com a razão áurea porque a razão entre dois números consecutivos da sequência converge para ela. Convergência sempre tem a ver com limite mas eu vou poupá-los da notação de limite dessa vez. F∞+1F∞=Φ - Sabe qual é a outra coisa legal de Fibonacci? A raiz de 5.
- What?
É porque a fórmula fechada tem essa cara aqui: F(n)=(1+√5)n-(1-√5)n2n.√5 Fórmula fechada? Ah sim, eu falei disso nesse outro post aqui. É porque uma função real que modela uma determinada relação de recorrência mutas vezes é chamada de fórmula fechada. Essa fórmula pode ser provada por indução. Eu não vou demonstrar por indução a fórmula fechada nesse post, mas eu vou mostrar como chegamos nessa fórmula fechada, que por sinal também é conhecida como fórmula de Binet. É importante frisar que eu não faço idéia de como chegaram nessa demonstração antes de mim, só sei como eu cheguei. E se prepare porque tem um passe de mágica pra fechar a demonstração.
Vamos lá. A relação de recorreência acaba que também pode ser escrita da seguinte forma: F(n+2)=F(n+1)+F(n) Subtraindo F(n+1) dos dois lados: F(n+2)-F(n+1)=F(n) Só que esse tipo de coisa, pra um cara que está meio calejado em matemática contínua, lembra muito uma função exponencial, porque, se você enxergar a sequência como função, essa construção vai lembrar muito a derivada de uma função, e essa derivada está sendo expressa como a própria função como uma equação diferencial linear de primeira ordem. Então se a gente supõe: F(n)=an E substitui isso na relação de recorrência, temos: an+2-an+1=an Só que quando a gente divide isso tudo por an, aparece um singelo polinômio. a2-a1=a0 a2-a=1 a2-a-1=0 Em outras palavras é a base da função exponencial de Fibonacci. Só tem um detalhe, o polinômio é do segundo grau, e isso implica dizer que tem duas raízes. E olhando pro Delta, são duas raízes reais e distintas: Δ=1+4=5 a=1±√52 E agora? O que fazer? Ah sei lá, diz que é uma combinação linear dessas duas raízes e vê no que vai dar. F(n)=k1.(1+√52)n+k2.(1-√52)n Pra gente ver no que vai dar, nós vamos precisar verificar esses dois coeficientes desconhecidos, e pra isso nós vamos precisar de duas equações. O que é particularmente fácil uma vez que a gente já conhece a sequência. F0=F(0)=k1.(1+√52)0+k2.(1-√52)0=k1+k2=0 F1=F(1)=k1.(1+√52)1+k2.(1-√52)1=k1+k2+√5.(k1-k2)2=1 k1+k2=0 k1-k2=2√5 Felizmente esse sistema é particularmente fácil de resolver. Eu vou pular a parte da solução de sistemas linears, e dizer direto qual é a resposta. k1=1√5 k2=-1√5 E voilá! fatorando essa coisa aqui: F(n)=1√5.(1+√52)n-1√5.(1-√52)n A gente rapidamente verifica que é a própria fórmula de Binet! F(n)=(1+√5)n-(1-√5)n2n.√5
Ufa! Cansei! Por hoje tá bom!
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