Pensando Sobre Matemática #68 - Fibonacci

Esse aqui todo mundo já ouviu falar.

Até a galera do MathJax já ouviu falar nesse malandro aí.


Vamos lá. Esse cara aí é o tal do Fibonacci. Lenardo Fibonacci de Pisa. Quando era pequeno não tinha muito o que fazer aí ficava estudando matemática, quando cresceu continuou fazendo a mesma coisa pois a zoeira da matemática estava em seu coração.

Até porque, eu acredito que se os BRs usam a espiral de Fibonacci pra fazer memes. Tenho certeza que esse miserável já o fazia em 1700 e sabe-se lá quando.

Eu não vou ficar inventando aquela história dos coelhinhos não. A gente vai entrar direto na matemática dessa coisa. A espiral de Fibonacci é só uma forma bonita de enxergar a sequência de uma forma gráfica. A sequência de Fibonacci na verdade nasce da relação recorrência: $$F_{i+2}=F_{i+1}+F_i$$ Onde os termos iniciais são: $$F_0=0$$ $$F_1=1$$ A espiral em si é só pra forma gráfica ficar bonitinha, o que interessa na forma gráfica são os quadrados pelos quais a espiral passa. Note que os lados dos quadrados são a soma dos lados de dois outros quadrados pelo menos menores. Essas somas obedecem a sequência de Fibonacci. Agora vamos voltar pra outras questões da sequência. Vamos praquela que chama mais atenção que é justamente a proporção áurea.

Se você não ouviu falar de proporção áurea, vai ouvir falar agora; ela geralmente é representada pela letra grega Φ, e, assim como o nosso querido π, ele é um número irracional! O valor aproximado para a Φ é 1,618

Mas peraí: Não é proporção áurea? Como assim é proporção então? Bom se você parar pra pensar, π também é uma razão, na verdade é a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Por qual razão Φ também não poderia ser? A sequência de Fibonacci está relacionada com a razão áurea porque a razão entre dois números consecutivos da sequência converge para ela. Convergência sempre tem a ver com limite mas eu vou poupá-los da notação de limite dessa vez. $$\frac{F_{\infty +1}}{F_{\infty }}=\Phi$$ - Sabe qual é a outra coisa legal de Fibonacci? A raiz de 5.
- What?

É porque a fórmula fechada tem essa cara aqui: $$\mathrm{F(n)}=\frac{{(1+\sqrt{5})}^n-{(1-\sqrt{5})}^n}{2^n.\; <msqrt><mi>5</mi></msqrt>}$$ Fórmula fechada? Ah sim, eu falei disso nesse outro post aqui. É porque uma função real que modela uma determinada relação de recorrência mutas vezes é chamada de fórmula fechada. Essa fórmula pode ser provada por indução. Eu não vou demonstrar por indução a fórmula fechada nesse post, mas eu vou mostrar como chegamos nessa fórmula fechada, que por sinal também é conhecida como fórmula de Binet. É importante frisar que eu não faço idéia de como chegaram nessa demonstração antes de mim, só sei como eu cheguei. E se prepare porque tem um passe de mágica pra fechar a demonstração.

Vamos lá. A relação de recorreência acaba que também pode ser escrita da seguinte forma: $$\mathrm{F(n+2)}=\mathrm{F(n+1)}+\mathrm{F(n)}$$ Subtraindo F(n+1) dos dois lados: $$\mathrm{F(n+2)}-\mathrm{F(n+1)}=\mathrm{F(n)}$$ Só que esse tipo de coisa, pra um cara que está meio calejado em matemática contínua, lembra muito uma função exponencial, porque, se você enxergar a sequência como função, essa construção vai lembrar muito a derivada de uma função, e essa derivada está sendo expressa como a própria função como uma equação diferencial linear de primeira ordem. Então se a gente supõe: $$\mathrm{F(n)}=a^n$$ E substitui isso na relação de recorrência, temos: $$a^{\mathrm{n+2}}-a^{\mathrm{n+1}}=a^n$$ Só que quando a gente divide isso tudo por $a^n$, aparece um singelo polinômio. $$a^2-a^1=a^0$$ $$a^2-a=1$$ $$a^2-a-1=0$$ Em outras palavras é a base da função exponencial de Fibonacci. Só tem um detalhe, o polinômio é do segundo grau, e isso implica dizer que tem duas raízes. E olhando pro Delta, são duas raízes reais e distintas: $$\Delta =\mathrm{1+4}=5$$ $$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$ E agora? O que fazer? Ah sei lá, diz que é uma combinação linear dessas duas raízes e vê no que vai dar. $$\mathrm{F(n)}=k_1.{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+k_2.{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$$ Pra gente ver no que vai dar, nós vamos precisar verificar esses dois coeficientes desconhecidos, e pra isso nós vamos precisar de duas equações. O que é particularmente fácil uma vez que a gente já conhece a sequência. $$F_0=\mathrm{F(0)}=k_1.{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^0+k_2.{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^0=k_1+k_2=0$$ $$F_1=\mathrm{F(1)}=k_1.{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^1+k_2.{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^1=\frac{k_1+k_2+\sqrt{5}.(k_1-k_2)}{2}=1$$ $$k_1+k_2=0$$ $$k_1-k_2=\frac{2}{\sqrt{5}}$$ Felizmente esse sistema é particularmente fácil de resolver. Eu vou pular a parte da solução de sistemas linears, e dizer direto qual é a resposta. $$k_1=\frac{1}{\sqrt{5}}$$ $$k_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$ E voilá! fatorando essa coisa aqui: $$\mathrm{F(n)}=\frac{1}{\sqrt{5}}.{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}.{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$$ A gente rapidamente verifica que é a própria fórmula de Binet! $$\mathrm{F(n)}=\frac{{(1+\sqrt{5})}^n-{(1-\sqrt{5})}^n}{2^n.\; <msqrt><mi>5</mi></msqrt>}$$


Ufa! Cansei! Por hoje tá bom!


Imagens:
https://gigantesdamatematica.wordpress.com/2015/12/18/leonardo-fibonacci-1170-1250/
https://www.facebook.com/fibonaccinobrasil/