Pensando Sobre Matemática #79 - Fibonacci #3

Porra, mas de novo esse cara!?

O que diabos esse cara tem de tão especial!? Eu não sei, mas a sequencia de Fibonacci tem um ziriguidum. Um ziriguidum que eu vou falar agora. Você não precisa ver os outros dois episódios pra entender esse, mas saiba que a gente já falou dele Aqui e Aqui. E o que acontece é que o homi deu sorte de tirar bilhete premiado entre os estudiosos de matemática pq ele pegou pra estudar uma relação de recorrência muito da safadinha. A saber:

$$F(n+2)=F(n+1)+F\left(n\right)$$

Então, o que temos até agora, a gente explicou o chute da forma exponencial da relação de recorrência e a produção da forma de Binet.

$$\mathrm{F(n)}=\frac{{(1+\sqrt{5})}^n-{(1-\sqrt{5})}^n}{2^n.\; <msqrt><mi>5</mi></msqrt>}$$

A gente também demonstrou que a fórmula de Binet funciona para a relação de recorrência em questão usando o Princípio da Indução Finita. E aí a gente fez os passos necessários para fazer a demonstração e verificou a veracidade da fórmula. Só que, bom, agora a gente vai olhar pra relação com uma visão diferente, com a visão discreta da coisa mesmo, e talvez você esteja se perguntando "mas como elu vai fazer isso se a relação de recorrência já é uma relação discreta?" E a resposta mais simples é: A gente vai fazer aritimética bruta. Vamos relembrar alguns números da bendita da sequência:

$$F=\{0,1,1,2,3,5,8,\mathrm{13}...\}$$

Mas, porém, contudo, contanto, todavia, essa sequencia aparece com esses dois valores iniciais.

$$F_0=0$$ $$F_1=1$$

Não é mesmo?

E se a gente usasse valores diferentes? E se a gente usasse, por exemplo, 0 e 4?

$$A=\{0,4,4,8,\mathrm{12},\mathrm{20},\mathrm{32},\mathrm{52}...\}$$

Hmmm... Ok, parece que a gente só tá multiplicando por 4. Vamos usar então 1 e 4:

$$B=\{1,4,5,9,\mathrm{14},\mathrm{23},\mathrm{37},\mathrm{60}...\}$$

Agora a coisa parece que fic meio doida, e realmente eu não to conseguindo ver muita coisa aí não, vamos tentar alguma coisa mais genérica, começamos com a e b.

$$K_0=a$$ $$K_1=b$$

E a partir daí vamos começar a desenvolver os próximos termos. Vejamos o que acontece:

$$K_2=K_1+K_0,K_2=b+a$$ $$K_3=(b+a)+b,K_3=2*b+a$$ $$K_4=(2*b+a)+(b+a),K_4=(3*b+2*a)$$ $$K_5=(3*b+2*a)+(2*b+a),K_5=(5*b+3*a)$$

Cê não tá fazendo isso comigo não, né, Fibonacci?

$$K_6=(5*b+3*a)+(3*b+2*a),K_6=(8*b+5*a)$$

Fibonacci!?

$$K_7=(8*b+5*a)+(5*b+3*a),K_7=(\mathrm{13}*b+8*a)$$

Ok, parece que já entendemos o que está acontecendo aqui. Não importa quais valores iniciais a gente usar, a gente sempre vai ter a sequência de Fibonacci ali escondida junto com os valores que a gente selecionou! Não viu ainda!? A gente te ajuda!

$$K(n+2)=\left(F\right(n+1)*K(1)+F(n)*K(0\left)\right)$$

Ou seja, no final a gente acaba caindo no caso mais simples. Isso significa que a gente pode estudar o caso mais simples porque depois a gente pode facilmente levar para os casos mais complexos. Isso é apenas mais uma das propriedades interessantes dessa sequência.

Repetindo, Fibonacci tirou a sorte grande na loteria das relações de recorrência.

P.S.: Do jeito que minha vida anda, acho que as postagens de matemática de segunda não vão rolar não...