Pensando Sobre Matemática #65 - Dízimas - Parte 1

Então vamos ver se agora vai dar pra usar o Mathjax

Eu acho que eu nunca falei muito sobre isso porque geralmente passa batido durante o ensino fundamental, mas é um ponto particularmente importante.

Ligue seu Javascript porque se tudo der certo eu vou usar o MathJax.

Vamos começar respondendo a primeira pergunta: Por que diabos dízimas seriam particularmente importantes. Essa é fácil. Dízimas são um elemento especial que aparece quando a pessoa está estdando números de ponto flutuante junto com o conjunto dos números racionais. Nesse momento o estudante consegue ter a noção de que existem números com uma quantidade de casas decimais indefinida, e que a notação decimal não é suficiente. Daí eles criam alguns macetinhos. $$\mathrm{0.333...}$$ Esse é particularmente ruim. Tem um melhor que consiste em riscar um traço sobre o periodo mas a minha ignorância em MathML não permite que eu o faça aqui.

E a primeira dízima, que é a que eu estou mostrando na imagem aparece em uma divisão ridículamente boba: $$\mathrm{0.333...}=\frac{1}{3}$$ Essa divisão é o suficiente para gerar essa dízima. Como a notação decimal não é suficiente, a melhor idéia é utilizarmos frações, só que elas tem uma desvantagem. Pra poder fazer contas com frações geralmente temos que buscar o Mínimo Múltiplo Comum(MMC). Os resultados podem ficar particularmente deselegantes.$$\frac{1}{4}+\frac{1}{\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{10}+4}{4*\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{40}}=\frac{7}{\mathrm{20}}$$ Qual é o legal aqui? É que enquanto estivermos nos campos dos números racionais, nós podemos ter a certeza de que a dizima é periódica. E deixa eu aproveitar pra fazer o cálculo de cima usando números decimais. $$\mathrm{0.25}+\mathrm{0.1}=\mathrm{0.35}$$ - Peraí periódica? Então existem dois tipos tipos de dízima.
- Sim! Periódicas e Não-Periódicas!

Eu particularmente não conseguiria provar que, no campo dos racionais, qualquer dízima é periódica. Mas dá pra ir pro lado oposto: Toda dízima periódica pode ser escrita como fração irredutível, portante ela é um numero racional. Pra exemplificar isso, a gente vai mostrar como converter uma dízima em forma de fração. Vamos usar a seguinte dízima. $$\mathrm{0.6444...}$$ Eu estou relaxando aqui na notação de periodicidade. Quando eu falar dízima sem especificar nada mais, certamente será uma dízima periódica. Agora vamos isolar a parte periódica da dízima. Algumas vezes ela já vem isolada. Vamos usar ua variável para auxiliar no processo $$a=\mathrm{0.6444...}$$ $$\mathrm{10}*a=\mathrm{6.444...}$$ Agora a gente vai transformar essa expressão pra obter alguma coisa parecida, mas mantendo a dízima isolada. $$\mathrm{100}*a=\mathrm{64.444...}$$ Agora a gente executa um algebrismo. Quando fazemos isso, as partes periódicas das dízimas se anulam, e ficamos apenas com a parte não decimal. $$\mathrm{100}*a-\mathrm{10}*a=\mathrm{64.444...}-\mathrm{6.444...}=\mathrm{64}-6=\mathrm{58}$$ $$\mathrm{90}*a=\mathrm{58}$$ Agora é só fazer a divisáo, e temos a dízima em forma de fração! $$a=\frac{\mathrm{58}}{\mathrm{90}}$$ Eu vou provar isso em outro post porque envolve somatórios e fica um pouco mais complicado de entender, mas a prova é basicamente a execução desse algoritmo de uma forma mais genérica. Por enquanto vamos ficar com esse método para conversão de dízimas em frações!

Fuiz!