Pensando Sobre Matemática #50 - A Colher na Borda do Prato.

Todo mundo já fez essa aventura extremamente perigosa depois do almoço.

Que é equilibrar uma colher na borda do prato.

A física explica uma porção de coisas, desde que você tenha paciência o suficiente para escutar a explicação. O conceito de equilíbrio é uma coisa que aparece naturalmente nas nossas vidas. Obviamente, o equilibrio instável é muito mais legal que o equilíbrio estável porque é muito mais complicado de ser alcançado. Ele é visivelmente belo, porém efêmero. Uma pequena diferença e tudo vai por água abaixo.

E esse é o caso da colher na borda do prato. Sabe aquela balança da justiça? Pois é, nela os pratos tendem a ficar equilibrados. Se você colocar peso em um determinado prato, você causa o desequilíbrio e o consequente movimento dos pratos. A questão da colher é a mesma coisa. Trata-se de achar o ponto da colher na qual os dois lados exerçam a mesma quantidade de peso ou seja, tenham a mesma quantidade de massa. Isso parece um conceito simples, mas analisá-lo de um ponto de vista mais minucioso pode mostrar o quão diferente isso é. Eu não quero tornar nada mais complicado até porque a natureza do problema não vai mudar, que é achar o ponto de equilíbrio entre as coisas, só que existe toda uma explicação pra isso funcionar.

São objetos maciços com um ponto fixo. O movimento da colher sobre a borda é muito similar a de uma barra de ferro que gira em um eixo. Isso porque a gravidade atua dos dois lados, mas ela vai girar pro lado que tem mais massa. Então vamos supor o seguinte. O eixo x é a extensão da colher e então vamos gerar duas funções de massa. Uma pra massa de um lado da colher e outra pra outra massa. $$f_e\left(x\right)={\int }_0^x\rho \left(y\right)dy$$ $$f_d\left(x\right)={\int }_x^L\rho \left(y\right)dy$$ Onde $\rho$(y) é a densidade da colher naquele ponto que também é o mesmo eixo da variável x, e L é o comprimento total da colher. Note que a variável x apenas delimita os limites das integrais. Agora temos que igualar as massas para achar o ponto de equilibrio "p": $$f_d\left(p\right)=f_e\left(p\right)$$ Ok. parece complicado, mas essa é uma forma de definir a quantidade de massa, em cada ponto do eixo da colher sendo que o ponto p é o ponto onde elas são iguais. Só que não é isso que queremos, porque pode funcionar aproximadamente bem se a colher fosse uma barra de ferro linear. O que ela não é. ela tem aquelas curvaturas, e isso faz toda a diferença quando aplicamos a força peso. Se fizermos ingenuamente, a nossa função para comparar as forças que atuam de cada lado da colher teria simplesmente a adição da aceleração da gravidade, que se anularia por estar presente dos dois lados da equação, porém posições mais baixas da matéria acabam tendo uma influência um pouco maior porque puxam as outras partes da matéria adjacente para baixo também. Então existe mais uma pequena forcinha em alguns pontos da colher ajudando a puxar a colher pra baixo.

Como resultado, o ponto em que vamos equilibrar a colher não é o meio dela, mas é um ponto um pouco deslocado para o lado onde está a curvatura dela. Pois é dessa forma que as forças se equilibram. E faz com que a colher não gire porque temos que colocar a força peso e todas essas forcinhas devido a curvatura da colher. Que como eu não sei, eu vou dizer que também é uma função "A" da posição que representa a quantidade de pressão aplicada naquele ponto o que daria: $$P_e\left(x\right)={\int }_0^x\left(g\rho \right(y)+A(y\left)\right)dy$$ $$P_d\left(x\right)={\int }_x^{L}g\rho \left(y\right)dy$$ E daí quando igualamos: $$P_d\left(k\right)=P_e\left(k\right)$$ E porque ela não giraria no ponto "k"? Pois as velocidades angulares que seriam causadas pela força peso atuando dos dois lados diferente da colher agora se anulam.

E assim equilibramos a colher.

Se você teve algum problema com a integral($\int$), favor recorrer a postagem de cálculo

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