Pensando Sobre Matemática #49 - Cadeira

A matemática está presente em todos os objetos, como por exemplo:

Uma cadeira.

Sim uma cadeira possui matemática. Tudo bem que os computadores são os objetos que mais possuem matemática hoje em dia, mas por que não olharmos para coisas mais simples e pensarmos em quantas coisas podemos aprender com ela?

Qual é a brincadeira aqui? Vamos supor que a nossa cadeira é composta de madeira maciça, ou seja, todo o seu material é homogêneo. Vamos assumir algumas hipóteses aqui:

• O ângulo entre as pernas o assento é perpendicular.
• As pernas são prismas quadrados, em outras palavras, paralelepípedos.
• O assento também é quadrado.
• A disposição das pernas sob o assento também forma um quadrado.
• O encosto adiciona alguma pressão sobre as pernas de trás.

Tudo bem que as hipóteses não tiveram nada a ver com o material, eu nunca falei que elas estavam relacionadas com ele. O que importa é que essa geometria simplificada deve permitir olharmos para a cadeira de uma forma diferente. Quando você senta sobre a cadeira você aplica alguma pressão sobre ela, certo? Se você não lembra o que é pressão:

$$P=\frac{F}{A}$$ Onde P é a quantidade de pressão, F de força e A é a área onde a força é aplicada. Em outras palavras, é a força exercida em uma área. Vamos supor que a mesma quantidade de força para baixo é exercida em toda a extensão da cadeira. Isso significa que em todos os pontos vamos ter a mesma quantidade de força aplicada. a Nível de cálculo, isso quer dizer o seguinte: $$F=\int PdA$$ O que torna a fórmula acima levemente errada. Ela funciona quando tudo é homogêneo, mas quando as coisas são heterogêneas, você tem que usar a forma derivada da coisa: $$P=\frac{dF}{dA}$$ Agora a pressão se torna exatamente a taxa com a qual uma força se distribui por uma superfície.

Parece meio feioso, né? Só que nós estamos supondo algo mais simples. Se você tem uma massa de 60kg, a quantidade de força que você exerce sobre a cadeira é de 600N se considerarmos a aceleração da gravidade como: $$g=\mathrm{10}m/s^2$$ Já que: $$F=M.a$$ E como pressão, toda essa força se divide na extensão do assento. Vamos supor que toda essa massa cubra a superfície do assento gerando uma pressão homogênea. As pernas vão estar sofrendo alguma força, bem como o assento, e são elas que geram a força normal o suficiente para sustentar o seu peso, juntamente com alguma força elástica do assento. Apesar da pequena curvatura que ele vai tomar, nós vamos supor que você não se move, então a quantidade de força normal sendo aplicada em você deve ser exatamente a quantidade de força que seu corpo está aplicando pra baixo. Se a força resultate é 0, Logo: $$R=P+N$$ $$N=-\mathrm{600}$$ Onde R é a força resultante, P é a força peso e N é a força normal, que é a força gerada por uma reação a força peso, geralmente por um suporte ou pelo chão.

Só que essa força está divida entre as pernas. Se assumirmos que o peso está distribuído corretamente, podemos supor que cada perna está suportando 150N. Ou seja, mais ou menos 15 kg. Obviamente as de trás estão suportando um pouco mais devido ao peso do encosto.

Se você conseguir medir a quantidade de força que você tem que aplicar sobre a cadeira para ela arrebentar, você vai estar calculando a resistência do material, e existe uma área da engenharia inteira sobre resistência de materiais, e é graças a ela que existem esses aviões e esses materiais parrudos que seguram até radiação. Esse tipo de engenharia é extremamente importante na confecção das máquinas que fazem os trabalhos de exploração de mineirais ou geração de energia elétrica.

Fora que estamos trabalhando com aproximações bastante brutas, cada perna da cadeira também exerce uma força peso sobre o chão. Ou seja, a perna sofre um pouco mais de força gerada por ela mesma e pelo assento além do seu peso. E isso tudo deve ser incluído nos cálculos para obter a resistência da cadeira com uma precisão maior!

Ta vendo como tem bastante matemática na cadeira!?


Imagens:
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