Pensando Sobre Matemática #45 - Os Primos de Mersenne

Números primos são incríveis. Até hoje as pessoas tentam encontrar as respostas para as perguntas que eles continuam colocando na matemática.

Uma das pessoas que procuravam essas coisas é esse aí.

O homem da foto é Marin Mersenne. E graças a esse padre é que a matemática deu saltos largos, porque ele é quem conectava os matemáticos naquela época, bem como Paul Erdos há alguns anos atrás. Ou como o Kevin Bacon com os atores de cinema.

No meio dessa busca pelos números primos, os caras vieram com as fórmulas mais mirabolantes possíveis, e essas fórmulas na maioria dos casos estão erradas. O próprio Mersenne veio com uma delas, e ela é mais ou menos assim. $$M\left(n\right)=2^n-1$$ Se você andar um pouquinho com "n" você logo vai perceber que ele erra. Oras, se você pegar n = 4 você já descobre que a coisa não dá certo.

Só que, para alguns valores de n funciona. Se você pegar n = 7, dá um número primo. O 127 se você estiver com preguiça de fazer os cálculos. O lance é, existe um caso muito específico onde o número resultante da função é primo. Para isso, n tem que ser primo, mas não pode ser qualquer primo não. Ele tem que passar pelo teste de Lucas-Lehmer. No caso é um algoritmo e tem toda uma prova de como ele funciona.

Ok, mas pra que que serve isso aí? Meio que nada. A brincadeira é achar o maior primo de Mersenne possível. Esses caras aqui buscam até hoje, e tem um catálogo bem legal aqui ó: http://www.mersenne.org

A quantidade de primos existentes é infinita, então quando é que essa busca pára? Será que ela pára? Não sei, mas o último primo encontrado por eles é muito maior o que qualquer coisa que você possa imaginar. Serve pra alguma coisa? Certamente não.