Pensando Sobre Matemática #43 - Cos(a + b)

E hoje eu vou fazer dose dupla.

Só que agora com o outro cara.

Não ignore o outro post. Se você não lê-lo você vai se perder. Ao lê-lo e ver essa imagem você vai entender do que estamos falando.

E para adiantar eu vou já reescrever aqui as 4 relações mágicas que fazem a coisa funcionar. $$c=x.\cos (\alpha +\beta ).\cos \left(\alpha \right)+y.\cos \left(\beta \right)$$ $$x.\cos (\alpha +\beta ).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=y.\mathrm{sen}\left(\beta \right)$$ $$c.\cos \left(\alpha \right)=(x+y).\cos (\alpha +\beta )$$ $$c.\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=y.\mathrm{sen}(\alpha +\beta )$$ Isso vai poupar bastante trabalho, pois aqui já temos todas as relações que são necessárias.

Eu não sei se você notou, mas no final da postagem anterior, a terceira relação ficou completamente ignorada. Isso é porque o propósito dela é aparece aqui e agora. Lembra do que fizemos utilizando a ultima equação? Pois é. Junte a terceira com a primeira: $$(x.\cos (\alpha +\beta ).\cos (\alpha )+y.\cos (\beta \left)\right).\cos \left(\alpha \right)=(x+y).\cos (\alpha +\beta )$$ Só que esse monte de parenteses ta complicando. Vamos aplicar as distributivas: $$x.\cos (\alpha +\beta ).\cos \left(\alpha \right).\cos \left(\alpha \right)+y.\cos \left(\beta \right).\cos \left(\alpha \right)=x.\cos (\alpha +\beta )+y.\cos (\alpha +\beta )$$ AGora eu vou passar um dos termos da direita para esquerda: $$x.\cos (\alpha +\beta ).\cos \left(\alpha \right).\cos \left(\alpha \right)-x.\cos (\alpha +\beta )+y.\cos \left(\beta \right).\cos \left(\alpha \right)=y.\cos (\alpha +\beta )$$ E agora sim se torna interessante colocar um cara em evidência: $$x.\cos (\alpha +\beta ).({\cos \left(\alpha \right)}^2-1)+y.\cos \left(\beta \right).\cos \left(\alpha \right)=y.\cos (\alpha +\beta )$$ Opa! Esse termo aí que apareceu é bem famoso! Ele vem daqui: $${\mathrm{sen}\left(\alpha \right)}^2+{\cos \left(\alpha \right)}^2=1$$ Se você olhar, você tira um seno ao quadrado negativo disso aí: $${\cos \left(\alpha \right)}^2-1=-{\mathrm{sen}\left(\alpha \right)}^2$$ Isso significa que: $$x.\cos (\alpha +\beta ).(-{\mathrm{sen}\left(\alpha \right)}^2)+y.\cos \left(\beta \right).\cos \left(\alpha \right)=y.\cos (\alpha +\beta )$$ Mas aí nós podemos recorrer a segunda equação de novo pois: $$x.\cos (\alpha +\beta ).\mathrm{sen}\left(\alpha \right).(-\mathrm{sen}(\alpha \left)\right)+y.\cos \left(\beta \right).\cos \left(\alpha \right)=y.\cos (\alpha +\beta )$$ Então: Vamos ajeitar e dividir tudo por y: $$\cos \left(\beta \right).\cos \left(\alpha \right)-\mathrm{sen}\left(\beta \right).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=\cos (\alpha +\beta )$$ Sim. A soma do cosseno dos ângulos é uma diferença entre o produto dos cossenos e dos senos.