Pensando Sobre Matemática #42 - Sen(a + b)

Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá.

Termine o ditado.

Se você não sabe a gente te ajuda: Pois é, esse é um dos mais famosos teoremas da trigonometria. Se você nunca viu ele sendo provado vai ver agora ao vivo e monocromaticamente. Não. Não quero cores na minha geometria. Ela vai ficar assim mesmo porque eu to com preguiça de ser mais didático.

Só que pra fazer essa demonstração eu vou precisar adicionar alguns elementos ocultos nessa figura.

E precisamos esclarecer algumas coisas sobre essa figura, bem como enunciar alguns outros resultados necessários:

• CDE, DBG, EGA, EFA e DEG são todos ângulos retos.
• Os catetos de um triângulo retângulo podem ser escritos através da hipotenusa e dos senos e cossenos dos ângulos.
• DE é paralelo a AB
• EG é paralelo a CB
• CED = BAC, pelo 5o. postulado de euclides
• BAD = ADE, pelo 5o. postulado de euclides

Para facilitar eu vou designar variáveis para segmentos de reta bem específicos.

• CE = x
• AE = y
• AD = c

E como já dizia os Bragaboys: "E agora vamos começar".

O que vamos fazer é encontrar relações de igualdade não muito óbvias. Por exemplo, nós sabemos que BDEG é um retângulo e, portanto, BD = EG. Geometricamente isso não é verdade, mas estamos relaxando a notação para falarmos apenas de medidas, ok?

Nós temos 2 segmentos que possuem mais de uma forma de serem escritos:

• AB
• EF

Vamos olha primeiro para a relação que existe entre BD e EG. Olhando para as hipotenusas e para os ângulos podemos escrever que:

$$c.\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=y.\mathrm{sen}(\alpha +\beta )$$

Quanto ao lado AB, nós vamos usar as duas hipotenunsas AC e AD.

$$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}.\cos \left(\alpha \right)$$ $$\mathrm{AB}=c.\cos \left(\alpha \right)$$ $$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}.\cos (\alpha +\beta )$$ $$\mathrm{AB}=(\mathrm{AE}+\mathrm{CE}).\cos (\alpha +\beta )$$ $$\mathrm{AB}=(x+y).\cos (\alpha +\beta )$$ $$c.\cos \left(\alpha \right)=(x+y).\cos (\alpha +\beta )$$

E o lado EF vai do resultado a respeito de DE.

$$\mathrm{DE}=\mathrm{CE}.\cos (\alpha +\beta )$$ $$\mathrm{DE}=x.\cos (\alpha +\beta )$$ Como DEF é um ângulo reto podemos escrever EF: $$\mathrm{EF}=\mathrm{DE}.\mathrm{sen}\left(\alpha \right)$$ $$\mathrm{EF}=x.\cos (\alpha +\beta ).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)$$ Do outro lado, temos outro triângulo retângulo que nos diz que: $$\mathrm{EF}=\mathrm{AE}.\mathrm{sen}\left(\beta \right)$$ $$\mathrm{EF}=y.\mathrm{sen}\left(\beta \right)$$ Logo: $$x.\cos (\alpha +\beta ).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=y.\mathrm{sen}\left(\beta \right)$$

E repare só. Existe mais uma forma de escrever AD.

$$\mathrm{AD}=\mathrm{DF}+\mathrm{AF}$$ $$\mathrm{DF}=\mathrm{DE}.\cos \left(\alpha \right)$$ $$\mathrm{DF}=x.\cos (\alpha +\beta ).\cos \left(\alpha \right)$$ $$\mathrm{AF}=\mathrm{AE}.\cos \left(\beta \right)$$ $$\mathrm{AF}=y.\cos \left(\beta \right)$$ Logo: $$c=x.\cos (\alpha +\beta ).\cos \left(\alpha \right)+y.\cos \left(\beta \right)$$ Legal! Agora vamos juntar essas quatro equações bonitas aqui: $$c=x.\cos (\alpha +\beta ).\cos \left(\alpha \right)+y.\cos \left(\beta \right)$$ $$x.\cos (\alpha +\beta ).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=y.\mathrm{sen}\left(\beta \right)$$ $$c.\cos \left(\alpha \right)=(x+y).\cos (\alpha +\beta )$$ $$c.\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=y.\mathrm{sen}(\alpha +\beta )$$ Juntando a primeira com a última nós temos: $$(x.\cos (\alpha +\beta ).\cos (\alpha )+y.\cos (\beta \left)\right).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=y.\mathrm{sen}(\alpha +\beta )$$ Fazendo a distributiva: $$x.\cos (\alpha +\beta ).\cos \left(\alpha \right).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)+y.\cos \left(\beta \right).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=y.\mathrm{sen}(\alpha +\beta )$$ Mas reparem que se você olhar para a segunda equação você vai ver um termo que pode ser substituido diretamente na equação atual, graças a propriedade comutativa da multiplicação: $$y.\mathrm{sen}\left(\beta \right).\cos \left(\alpha \right)+y.\cos \left(\beta \right).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=y.\mathrm{sen}(\alpha +\beta )$$ Dividimos os dois lados por y. Compara com a primeira equação que eu coloquei no início do artigo: $$\mathrm{sen}\left(\beta \right).\cos \left(\alpha \right)+\cos \left(\beta \right).\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=\mathrm{sen}(\alpha +\beta )$$ Agora você já sabe:

• Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá
• seno a cosseno b, seno b cosseno a