Pensando Sobre Matemática #14 - Mais Geometria

Então, sabe aquilo tudo de geometria que eu falei aqui? Pois é, vamos colocar algumas correções e mais observações sobre tudo o que foi dito. Até porque Geometria é uma coisa séria, e merece bastante atenção pois serviu muitas vezes como argumento pra solucionar muita coisa por aí, mesmo quando não estava ligada a álgebra.

Pouparei você do MathJax desta vez.

Euclides fez um grande trabalho, mas deve ter ficado muito feliz, ou muito puto, quando encontraram o trabalho de Gauss sobre geometria. Depois de tanta gente tentando provar o quinto postulado, algo que era impossível, alguém vislumbrou uma geometria sem ele e começou a criar uma forma diferente de ver o universo.

Antes que continuar eu vou fazer um Merchandising aqui:

É porque eu estou lendo esse livro e ele fala muita coisa interessante sobre Geometria, então qualquer pessoa que queira se aprofundar mais, mesmo sendo leigo, é uma excelente idéia. Esse livro foi escrito por Leonard Mlodinow(Dá pra ler na imagem?)

Agora continuando...


Gauss conseguiu visualizar uma geometria diferente onde você poderia ter mais de uma reta paralela a uma dada reta "r". E daí foi provando alguns teoremas e desenvolvendo a geometria. Mais tarde, seu pupilo, Riemann, iria desenvolver ainda mais trabalhos sobre ela, e por fim tudo isso seria formalizado na era de David Hilbert. Isso porque a geometria deve funcionar tão bem para "pontos", "retas" e "planos", quanto para "homens", "mulheres", e "cerveja".

Percebeu-se que os 5 postulados de Euclides não eram rigosos o suficiente para o rigor matemático da época. Muitas coisas que hoje são colocadas explicitamente estavam implícitas no trabalho do rapaz de Alexandria. Um dos melhores exemplos é a suposição de que a reta é contínua, que é uma hipótese que nunca é mencionada nos "Elementos", porém era extremamente necessário que a continuidade fosse provada com rigor matemático, e por isso, qualquer artigo sobre uma geometria que não a Euclidiana acaba contendo uma quantidade ainda maior de Axiomas.

E, bem Hilbert foi um pouco além e foi mais generalista. Existem três geometrias com um quinto postulado:

1. Euclidiana: Dada uma reta "r" passa apenas uma paralela por um ponto fora da reta
2. Hiperbólica: Dada uma reta "r" passam infinitas paralelas por um ponto fora da reta
3. Elíptica: Dada uma reta "r" não passam paralelas por um ponto fora da reta

O Raciocínio foi simples: Vamos fazer uma geometria sem um quinto postulado.

Ok ok. Vamos fazer uma geometria com 20 postulados ao invés de 21.(Hilbert enuncia a geometria euclidiana com 21 axiomas)

Ou com algum número menor que 21. E daí surge a geometria neutra. Algumas pessoas enunciam ela com 18 axiomas, acho que eu já vi uma versão com 15, mas aí vai depender muito do autor que você estiver lendo.

- Legal isso tudo, mas pra que uma Geometria Neutra?

Oras, é porque não sabemos se vivemos em um espaço euclidiano ou não, que funciona muito bem para distâncias pequenas, mas não se sabe como as coisas se comportam para distâncias muito grandes. Quando fizeram as medidas com grandes distâncias, eles começaram a encontrar erros na verificação do teorema de pitágoras.

Bom, parte disso se deve a questão da geometria da terra não ser plana, e sim curva. E a geometria elíptica funciona perfeitamente bem sobre esse tipo de volume. Hoje ela é usada na cartografia!

Bom, hoje não vai ter formuleta, eu vou ficando já por aqui, já acrescentei bastante sobre tudo o que eu já falei.

Mas provavelmente vai ter mais!