Eu colocaria uma imagem de uma faixa de Möebius aqui mas ela não se enquandra no tópico que vamos falar hoje, então liguem seus javascripts pois estaremovs utilizando o MathJax novamente! Iremos falar sobre somatórios!
Matemáticos são caras preguiçosos. Eles inventam coisas novas baseadas nas velhas. Isso está bem próximo de nós em conceitos que são utilizados diariamente. O operador de multiplicação é um perfeito exemplo disso. Vocês sabem que: Eu não gosto do "x" como operador de multiplicação, acho o ponto muito mais legal apesar de vetorialmente ele significar um produto escalar. Isso quando a gente não simplesmente "come" o operador de multiplicação quando as coisas não se misturam. No computador a gente usa o "*" pra denotar operador de multiplicação, mas eu não vou fazê-lo porque eu ia ter que acostumar todos os leitores a uma notação desconhecida. Então seguimos com o ponto.
Bom, o que eu quero dizer é, a multiplicação é só um conjunto de somas de um mesmo número repetidas vezes, mas esse evento era tão recorrente que acabou virando um operador próprio. Outras coisas ganharam seus próprios operadores ou notações, como a potenciação. Outro cara que ficou muito famoso foi esse aqui:
Esse cara aí ja deve ter dado muita dor de cabeça pra muita gente, especialmente porque quando ele aparece, ninguém sabe o que ele significa e quem apresenta acha que você já está familiarizado com a coisa toda. Então nós vamos detonar esse mito aqui, mesmo não sendo os caçadores de mitos. Até porque, ele é um conceito que serve pra simplificar alguma coisa.
- Se você leu o título do post, sabe que eu vou falar de somatórios.
- Então o que é que esse maldito símbolo tem a ver com isso?
Esse é o símbolo geral de somatório. Geralmente você não vai lê-lo sozinho. Ele geralmente aparece com alguns companheiros, mais ou menos assim: Reconhecível? Acredito que sim. Legível? Provavemente não. Antes de destrinchar o que isso significa, vamos pensar um pouco na origem disso.
Nós gerlamente precisamos somar muitas coisas e nem sempre elas são iguais. Por exemplo, se você quiser somar uma quantidade muito grande de números em sequência você precisaria escrever todos eles. Imagine então você somar de 1 até 100. Você vai gastar provavemente uma folha inteira só pra escrever a expressão que corresponde a essa soma. Apesar de que, algumas pessoas já notaram que você pode supor que as pessoas capturaram o padrão da coisa quando elas escrevem algo do tipo: Só que se a pessoa não pegar o padrão na hora, vai embolar o meio de campo, então precisamos de uma notação melhor. Então essa mesma expressão que soma de 1 até 100 foi rapidamente sintetizada em: Ok. Isso ja deve ter te mostrado que uma sequência de somas pode ser sintetizada em um simples operador que parece um "E", mas como a gente vai saber quais são os termos que estão fazendo parte da soma? Bom, você pode observar que eu estou somando de 1 até 100, e que na expressão com o Sigma(O nome da letra que sintetiza o somatório), aparecem os elementos 1 e 100. Opa então ja sabemos o que são os limites superior e inferior da coisa, falta ainda identificar o porquê tem uma variável "i" ali no meio de coisa.
O que na verdade não é nem tão complicado assim. A variável esta ali justamente para indicar como a coisa funciona e exclusivamente para fazer a coisa funcionar. Você pode usar até qualquer nome para a variável que nós chamaremos de "iterador", porém o "i" é uma escolha muito comum justamente porque "iterador" começa justamente com essa letra.
Se você já programou, saiba que o Somatório funciona similarmente a um loop de programação onde os elementos são somados. No caso da soma de 1 a 100, nós estamos usando até o próprio iterador porque ele usa os números inteiros para a contagem. Em outras palavras, podemos dizer isso aqui: E não sei se você ja notou, mas você pode extender isso para variáveis que você consegue contar. Como mostrado em uma expressão anterior: Se você sabe o valor das 4 variáveis que aparecem ali. Bang! Você venceu! E você escreveu uma soma chata de quatro variáveis em um jeito extremamente compacto. Na verdade você pode escrever somas bem maiores do que isso! basta você mudar o limite superior. Se você quiser uma soma de 100 variáveis, mude o seu "n" para 100. Se você quiser 1000 variáveis, mude para 1000! Simples desse jeito! O problema é você já ter o valor de todas essas variáveis.
O operador de somatório é ainda mais poderoso pelo simples fato de não precisar de um limite superior e de um inferior. O que ele precisa na verdade é um conjunto de elementos. E ele vai iterar por todos. Aquela notação anterior não está incorreta, mas você pode também fazer da seguinte forma: Essa expressão aí soma todos os elementos do conjunto "A". E essa soma é completamente sintetizada em uma simples e compacta expressão. Você obviamente poderia escrever uma expressão gigantesca colocando todos os operadores e todas as parcelas, mas isso toma muito tempo e muito espaço. Fazer uma soma de 1000 elementos deve tomar mais do que uma singela folha de caderno. E se uma folha de caderno é relativamente grande, imagina para a galera da antiguidade que não tinha nem caderno pra escrever. O cara escrevia na areia, então a expressão tinha que ser compacta.
E você pode tirar e colocar coisas no somatório. Se nós voltarmos para a nossa soma de 1 a 100, nós podemos escrevê-la dessa forma: Ou você pode escrever dessa forma: Como é tudo uma sequência de somas, você pode tirar um elemento de dentro do somatório, desde que você o ajuste propriamente. Somar de 1 a 100 implica em você somar de 1 até 99 e depois adicionar o 100. São resultados equivalentes! Na verdade você tem que tomar cuidado quando você mistura somatórios e somas porque você pode colocar qualquer expressão dentro de um somatório. Por exemplo: Isso torna importante você usar parênteses para desambiguar as coisas. A expressão anterior foi completamente ambígua, então, quando nós misturarmos somatórios com outras somas isoladas, nós iremos passar a utilizar parênteses colocando o somatório todo dentro dos parênteses. Se eles não estiverem presentes, tudo o que vier depois do Sigma passa a fazer parte do somatório, ok? Da seguinte forma: Agora eu simplesmente estou somando 4 ao resultado do somatório.
Toda essa brincadeira de somatório começa a ficar mais interessante quando você coloca os limites superiores tendendo a infinito, ou em outras palavras, soma elementos de um conjunto com infinitos elementos, mas isso ja é assunto para outro post.
Fico por aqui! Divirta-se com o somatório agora que você não precisa mais temê-lo!
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