Pensando Sobre Matemática #11 - Somatórios

Olá galera! Estamos mais uma vez aqui pensando sobre matemática! Aquela coisa que a gente sempre faz mesmo sem notar, e da qual a gente corre pra continuar fazendo a mesma coisa. Resumindo, estamos correndo da matemática sobre uma faixa de Möebius.

Eu colocaria uma imagem de uma faixa de Möebius aqui mas ela não se enquandra no tópico que vamos falar hoje, então liguem seus javascripts pois estaremovs utilizando o MathJax novamente! Iremos falar sobre somatórios!

Matemáticos são caras preguiçosos. Eles inventam coisas novas baseadas nas velhas. Isso está bem próximo de nós em conceitos que são utilizados diariamente. O operador de multiplicação é um perfeito exemplo disso. Vocês sabem que: $$2+2+2+2+2=2\cdot 5$$ Eu não gosto do "x" como operador de multiplicação, acho o ponto muito mais legal apesar de vetorialmente ele significar um produto escalar. Isso quando a gente não simplesmente "come" o operador de multiplicação quando as coisas não se misturam. No computador a gente usa o "*" pra denotar operador de multiplicação, mas eu não vou fazê-lo porque eu ia ter que acostumar todos os leitores a uma notação desconhecida. Então seguimos com o ponto.

Bom, o que eu quero dizer é, a multiplicação é só um conjunto de somas de um mesmo número repetidas vezes, mas esse evento era tão recorrente que acabou virando um operador próprio. Outras coisas ganharam seus próprios operadores ou notações, como a potenciação. Outro cara que ficou muito famoso foi esse aqui:



Esse cara aí ja deve ter dado muita dor de cabeça pra muita gente, especialmente porque quando ele aparece, ninguém sabe o que ele significa e quem apresenta acha que você já está familiarizado com a coisa toda. Então nós vamos detonar esse mito aqui, mesmo não sendo os caçadores de mitos. Até porque, ele é um conceito que serve pra simplificar alguma coisa.

- Se você leu o título do post, sabe que eu vou falar de somatórios.
- Então o que é que esse maldito símbolo tem a ver com isso?

Esse é o símbolo geral de somatório. Geralmente você não vai lê-lo sozinho. Ele geralmente aparece com alguns companheiros, mais ou menos assim: $$\sum _{i=1}^n{a}_i$$ Reconhecível? Acredito que sim. Legível? Provavemente não. Antes de destrinchar o que isso significa, vamos pensar um pouco na origem disso.

Nós gerlamente precisamos somar muitas coisas e nem sempre elas são iguais. Por exemplo, se você quiser somar uma quantidade muito grande de números em sequência você precisaria escrever todos eles. Imagine então você somar de 1 até 100. Você vai gastar provavemente uma folha inteira só pra escrever a expressão que corresponde a essa soma. Apesar de que, algumas pessoas já notaram que você pode supor que as pessoas capturaram o padrão da coisa quando elas escrevem algo do tipo: $$1+2+3+4+\mathrm{...}+\mathrm{99}+\mathrm{100}$$ Só que se a pessoa não pegar o padrão na hora, vai embolar o meio de campo, então precisamos de uma notação melhor. Então essa mesma expressão que soma de 1 até 100 foi rapidamente sintetizada em: $$\sum _{i=1}^{\mathrm{100}}i$$ Ok. Isso ja deve ter te mostrado que uma sequência de somas pode ser sintetizada em um simples operador que parece um "E", mas como a gente vai saber quais são os termos que estão fazendo parte da soma? Bom, você pode observar que eu estou somando de 1 até 100, e que na expressão com o Sigma(O nome da letra que sintetiza o somatório), aparecem os elementos 1 e 100. Opa então ja sabemos o que são os limites superior e inferior da coisa, falta ainda identificar o porquê tem uma variável "i" ali no meio de coisa.

O que na verdade não é nem tão complicado assim. A variável esta ali justamente para indicar como a coisa funciona e exclusivamente para fazer a coisa funcionar. Você pode usar até qualquer nome para a variável que nós chamaremos de "iterador", porém o "i" é uma escolha muito comum justamente porque "iterador" começa justamente com essa letra.

Se você já programou, saiba que o Somatório funciona similarmente a um loop de programação onde os elementos são somados. No caso da soma de 1 a 100, nós estamos usando até o próprio iterador porque ele usa os números inteiros para a contagem. Em outras palavras, podemos dizer isso aqui: $$\sum _{i=1}^{4}i=1+2+3+4$$ E não sei se você ja notou, mas você pode extender isso para variáveis que você consegue contar. Como mostrado em uma expressão anterior: $$\sum _{i=1}^4{a}_i=a_1+a_2+a_3+a_4$$ Se você sabe o valor das 4 variáveis que aparecem ali. Bang! Você venceu! E você escreveu uma soma chata de quatro variáveis em um jeito extremamente compacto. Na verdade você pode escrever somas bem maiores do que isso! basta você mudar o limite superior. Se você quiser uma soma de 100 variáveis, mude o seu "n" para 100. Se você quiser 1000 variáveis, mude para 1000! Simples desse jeito! O problema é você já ter o valor de todas essas variáveis.

O operador de somatório é ainda mais poderoso pelo simples fato de não precisar de um limite superior e de um inferior. O que ele precisa na verdade é um conjunto de elementos. E ele vai iterar por todos. Aquela notação anterior não está incorreta, mas você pode também fazer da seguinte forma: $$\sum _{a\in A}a$$ Essa expressão aí soma todos os elementos do conjunto "A". E essa soma é completamente sintetizada em uma simples e compacta expressão. Você obviamente poderia escrever uma expressão gigantesca colocando todos os operadores e todas as parcelas, mas isso toma muito tempo e muito espaço. Fazer uma soma de 1000 elementos deve tomar mais do que uma singela folha de caderno. E se uma folha de caderno é relativamente grande, imagina para a galera da antiguidade que não tinha nem caderno pra escrever. O cara escrevia na areia, então a expressão tinha que ser compacta.

E você pode tirar e colocar coisas no somatório. Se nós voltarmos para a nossa soma de 1 a 100, nós podemos escrevê-la dessa forma: $$\sum _{i=1}^{\mathrm{100}}i$$ Ou você pode escrever dessa forma: $$\left(\sum _{i=1}^{\mathrm{99}}i\right)+\mathrm{100}$$ Como é tudo uma sequência de somas, você pode tirar um elemento de dentro do somatório, desde que você o ajuste propriamente. Somar de 1 a 100 implica em você somar de 1 até 99 e depois adicionar o 100. São resultados equivalentes! Na verdade você tem que tomar cuidado quando você mistura somatórios e somas porque você pode colocar qualquer expressão dentro de um somatório. Por exemplo: $$\sum _{i=1}^4{a}_i+3=(a_1+3)+(a_2+3)+(a_3+3)+(a_4+3)$$ Isso torna importante você usar parênteses para desambiguar as coisas. A expressão anterior foi completamente ambígua, então, quando nós misturarmos somatórios com outras somas isoladas, nós iremos passar a utilizar parênteses colocando o somatório todo dentro dos parênteses. Se eles não estiverem presentes, tudo o que vier depois do Sigma passa a fazer parte do somatório, ok? Da seguinte forma: $$(\sum _{i=1}^4{a}_i+3)+4$$ Agora eu simplesmente estou somando 4 ao resultado do somatório.

Toda essa brincadeira de somatório começa a ficar mais interessante quando você coloca os limites superiores tendendo a infinito, ou em outras palavras, soma elementos de um conjunto com infinitos elementos, mas isso ja é assunto para outro post.

Fico por aqui! Divirta-se com o somatório agora que você não precisa mais temê-lo!