Hoje vamos continuar com os somatórios que nós introduzimos na semana passada! Se você perdeu o post você pode visitá-lo rapidamente aqui porque nós não vamos a lugar nenhum! Apenas lembre-se de ligar seu Javascript pois nós estaremos usando o MathJax! É aquele esquema que você já conhece.
Preparados?
O que se faz de legal com somatórios? Bom, somatórios geralmente são introduzidos quando nós pensamos em progressões. Você tem uma empresa que vende balas e todo o dia você vende 10 balas. Quantas balas você deve vender ao longo da semana?
Essa é uma pergunta que pode ser facilmente respondida se você usa somatórios. Você já conhece as notações. Você sabe que você pode expressar isso como: Obviamente era mais fácil ter multiplicado isso por 7.
Mas você decidiu tomar uma posição mais agressiva no mercado, ao invés de continuar vendendo 10 balas e economizando os lucros, você vai investir em mais balas, fazendo com que você venda 5 balas a mais por dia. Agora a coisa complica um pouco porque você não pode mais simplesmente multiplicar, então o que fazer? Bom, nós sabemos que existe um padrão, então nós vamos definir algumas variáveis para expressar a quantidade de balas que são vendidas a cada dia. Bom, você começa com uma bala no dia 1: Note que eu coloquei esse nome de variável de propósito pra contar os dias, não é tão difícil de saber que: Opa, estou notando um padrão aqui. Como a cada dia nós vendemos 5 balas a mais do que no dia anterior, podemos escrever isso em uma notação matemática! Dessa forma: E curiosamente isso nos permite trabalhar bastante com os somatórios. Esse modo de pensar numerando as variáveis favorece imensamente esse pensamento onde uma coisa depende da anterior. Considerando as variáveis que estamos usando, se quisermos saber quantas balas nós vendemos em uma semana podemos escrever a seguinte expressão: Simples, bonito e elegante. Só tem um problema: Isso não é um número e sim uma expressão. O chefe da contabilidade provavelmente iria te descer o cassete se você fosse mostrar isso pra ele. Note que isso parece tornar o somatório inútil, mas na verdade olhar as coisas pela luz do somatório nos permite chegar a algumas conclusões. Por exemplo, nesse caso já sabemos que existe uma forma rápida de você descobrir o valor da soma até um determinado limite da sequência. Não vou explicitar aqui, vou deixar parar vocês pensarem.
Mas isso é só a ponta do iceberg. Não sei se vocês já ouviram falar do paradoxo de Zenão, mas é basicamente assim: Aquiles ta correndo contra uma tartaruga(ninja, pra ficar mais divertido). Ele começa dando uma vantagem de distância para a tartaruga. Sabe-se que ele sempre anda até metade da distância entre ele e a tartaruga, logo ele nunca passará a tartaruga.
Isso funciona até mesmo pra coisas fixas! Se pra chegar na pilastra você sempre tem que chegar na metade da distância entre ela e você, você nunca vai chegar lá. Ou seja, Zenão tinha uma noção muito louca das coisas que aconteciam a sua volta.
Mas graças aos somatórios, ele se deu mal. Pois alguns somatórios mesmo progredindo até o infinito, nunca serão superiores a um determinado valor constante!
- Como!?
- Isso mesmo! Existem progressões que convergem! Bem como existem outras que divergem, mas cara, algumas convergem! Olha que incrível! A solução para o paradoxo de Zenão é exatamente esta aqui: Sim. Essa soma mesmo indo pro infinito vai convergir pra 1. E isso é possível de ser provado! Na verdade a convergência de somatórios é o que permite uma série de resultados interessantes matemáticos. Como por exemplo, a hipótese de Riemann! Outra coisa introduzida pelos somatórios é a relação de recorrência, que nada mais é que a dependência dos termos em relação aos anteriores. A recorrência é algo extremamente importante para a computação e está ligada com as teorias de computabilidade.
Então é isso. Espero ter atingido o objetivo de explicar pra vocês as notações de somatório e incentivá-los um pouco a estudá-los! Bons estudos!
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