Pensando Sobre Matemática #13 - P.I.F.

Olá pensadores! Hoje vamos sair um pouco daquilo que geralmente fazemos aqui que é deduzir.

A dedução é poderosa pois ela sempre estará certa. Qualquer resultado deduzido é derivado de um resultado verdadeiro. O problema é que a veracidade dos resultados depende do sistema axiomático no qual você está trabalhando, mas em geral deduções são coisas sempre verdadeiras, diferentemente da indução.

A indução é um processo cognitivo na qual observamos o comportamento de coisas em sequência e tentamos dizer qual é o comportamento geral dessa sequência. Hoje eu apresento o princípio da indução Finita.

Lembrando do apoio do MathJax sem o qual não teríamos as notações matemáticas bem escritas.

Eu não consegui arrumar uma imagem legal então contente-se com o texto mesmo.

Bom, o raciocínio indutivo tem um grave problema. Ele nem sempre parte de uma verdade, e sim da observação das coisas. Ora, se toda ave voa, e o morcego voa, então o morcego é uma ave? Bom, esse raciocínio está errado por duas razões. O morcego não é uma ave e Avestruz não voa. Dá pra reparar porque a indução pode falhar.

Mas para nós matemáticos, quando formalizamos a forma de funcionar, a coisa realmente funciona!

Bom, como isso funciona? Pra isso funcionar você precisa começar com uma sequência de coisas. Por exemplo veja essa sequência de números inteiros: $$1,3,6,10,\mathrm{...}$$ Simples, não é? Mas eu vou denunciar o padrão: $$a_{i+1}=a_i+i+1$$ Não sei se você reconheceu, mas esse e o padrão para a soma dos números inteiros de 1 até aonde você quiser, apesar de eu ter explicitado apenas 4 elementos. Essa sequência aí vai até o infinito se você quiser, mas ela possui um padrão interno um pouco mais conhecido, porém provavelmente mais esquecido também. Que é esse aqui: $$S\left(n\right)=\frac{n.(n+1)}{2}$$ Isso é a fórmula fechada para a soma dos naturais de 1 até o número N. E isso funciona, e é demonstrável pelo princípio da indução finita, que precisa de três ingredientes para ser executada. O primeiro delas é: A fórmula deve funcionar para algum caso específico, e na verdade é a partir daí que começa a indução. Esse valor é geralmente chamado de base da indução.

Os outros dois são o passo de indução com a relação de recorrência, e o axioma da boa ordem! ou seja, para que isso funciona, você precisa ser capaz de escrever as coisas como uma função dos termos anteriores. E você precisa que os numeros possuam ordem, que é justamente o que faz esse axioma. Se essas três condições forem verificadas e você conseuir provar a forma geral da indução, então o reusltado é válido, na linguagem matemática, dada uma proposição P(n): $$P\left(k\right)\to P(k+1)$$ Ou em bom português, dizemos. Suponha que P(k) é verdadeiro, se isso implicar em P(k + 1) também ser verdadeiro, então a proposição P é válida. Essa condição é justamente a razão pela qual nós precisamos de uma relação de recorrência para podermos aplicar o princípio.

Muitas coisas são provadas utilizando esse princípio que, por sinal, não está restrito apenas aos números naturais, nem aos números inteiros. Você pode aplicar esse princípio com qualquer conjunto discreto que de elementos. Algumas propriedades de grafos são provadas utilziando esse princípio.

Moral da história: Você pode sim confiar em um raciocínio indutivo, contanto que você consiga explicar porque ele funciona. Um abraço galera!