Pensando Sobre Matemática #5

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Hoje iremos continuar um pouco o Assunto de semana passada que é de funções. Se você não leu, recomendo que leia, pois coisas que foram usadas lá voltarão a ser usadas aqui. Pode seguir o link pois nós iremos te esperar aqui nesse mesmo lugar. Até porque não dá pra ir muito longe daqui mesmo.

Funções com domínios fechados, ou seja, em conjuntos finitos, são mais fáceis de se entender. As coisas geralmente se complicam quando a gente expande a quantidade de elementos que tem nos conjuntos. Vamos pegar uma função cujo domínio seja o conjunto dos números naturais.

$$g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$$ Olha que coisa curiosa. Eu estou mapeando elementos de um conjunto para ele mesmo. Isso é perfeitamente possível, não há nenhuma restrição quanto a isso. Na verdade, algumas funções precisam justamente disso para alcançarem determinadas propriedades. Voltando para o nosso caso, nossa função g simplesmente acha o sucessor do próximo número. E como a gente fala isso nos números naturais? Qual seria o sucessor de "a"? A resposta é essa aqui:

$$a+1$$ Podemos então até escrever da seguinte forma:

$$g\left(a\right)=a+1$$ A grande pergunta aqui é: Isso é o suficiente para definir a função "g"?

A resposta é sim. Independente do que você jogar de número natural ali, você vai obter um único outro como resposta. É um mapeamento de um elemento para um elemento. Isso é uma função. Como funções são aplicáveis a expressões, você pode fazer coisas do tipo:

$$b=7$$ Aplique a função dos dois lados:

$$g\left(b\right)=g\left(7\right)$$ Fica fácil perceber que:

$$g\left(b\right)=8$$ Olha que interessante, sempre que eu quiser falar, do sucessor de um número eu posso usar a função. Se eu quiser falar do sucessor de 8. eu simplesmente posso falar g(8). Eu não preciso nem saber como a função se comporta, ela já me garante que o resultado é aquilo. Isso gera abstração, apesar de esse nome de função dificultar bastante a intuição alheia.

Ah, isso parece bastante útil até agora pra computação. Quando é que isso fica interessante pra matemática em si?

Na matemática isso fica interessante quando a funções tem propriedades especiais, ou você quer simplesmente olhar para as coisas de uma forma diferente. Alguns exemplos de funções que tem essa cara de transformação e são bastante conhecidas são as transformadas de Laplace e de Fourier, e Inversão de Möebius. Quanto a nós, meros mortais, os efeitos dessas transformações são um bocado esotéricos, e por isso não convém a serem explicados aqui. Vamos fazer algo muito mais interessante, vamos para um mundo onde nao há números ímpares!

$$h:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$$ $$h\left(a\right)=2a$$ No mundo da função "h" não há números ímpares. Todo mundo é múltiplo de 2. Veja que a propriedade principal que faz com que "h" seja função não se perdeu.

O que eu quero dizer com isso? Eu quero dizer que você não precisa definir o mapeamento para cada elemento do conjunto. Algumas vezes você pode fazê-lo com uma boa expressão matemática, desde que aquela propriedade se mantenha. O resto depois só vai aparecer se você entrar no assunto de cabeça.

Se você ainda acha inútil aqui vai uma lista de coisas que são feitas com funções:

• Gráficos
• Processamento de sinais
• Termômetros digitais
• Análise estrutural
• Programação
• Tomografia Computadorizada

Acho que tá bom pra sentir a importância das funções matemáticas nas nossas vidas, Lembrando que geralmente(não é sempre) estamos pensando sobre funções quando estamos comparando elementos de dois conjuntos diferentes.

E assim se encerra o capítulo de funções. Fiquem ligados para mais matemática!

Abraços!