Pensando Sobre Matemática #4

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O tópico de hoje é funções! Acho que todo mundo já deve ter ouvido falar de funções na vida. Na verdade a gente começa a ouvir falar delas pela 8a. série, o que equivale hoje ao 9o. ano. Elas causam muita dor de cabeça porque geralmente são um universo completamente novo a ser explorado com novas notações e geralmente muita dor de cabeça. Prontos?

O que diabos é um função no universo da matemática? Do jeito direto: Uma função é um mapeamento de elementos entre dois conjuntos A e B, de modo que para cada elemento de A esteja relacionado com um único elemento de B. Geralmente escrevemos da seguinte forma:

$$f:A\to B$$
Ok, assim fica muito abstrato. Mas essa é a definição formal de função, o que está descrito ali é o seguinte: A função se chama "f". Ela mapeia elementos do conjunto A, para o conjunto B. Vamos pegar dois conjuntos hipotéticos para ilustrarmos melhor o que estamos falando.

$$A=\{1,2\}$$ $$B=\{3,4\}$$
Precisamos ainda de uma notação que mostre a aplicação da função sobre um elemento. Geralmente colocamos da seguinte forma, se estamos aplicando a função "f" sobre o elemento "a":

$$f\left(a\right)$$
Eu vou usar essa notação para definir como a função "f" se comporta:

$$f\left(1\right)=3$$ $$f\left(2\right)=4$$
Bonito não é? Como funções são uma coisa muito geral, então quando você está lendo um texto qualquer sobre matemática, você tem que ver quais funções estão sendo definidas e quais são os seus nomes, apesar de que, existem funções bem conhecidas devido as suas origens e suas propriedades peculiares, mas não se engane pois elas podem mudar de acordo com o contexto. Tomaremos o cuidado aqui com os nomes, a nossa função "f" foi definida acima. Qualquer função nova terá um nome novo, ok?

Beleza, mas pra que que eu vou usar isso? funções geralmente são boas para aumentar abstrações sobre determinadas coisas e você não precisar se preocupar exatamente no que está acontecente. Não é a toa que as vezes chamamos funções de transformações, pois elas também são muito úteis para mudar de mundo. É mais ou menos assim, suponha a função "f" signifique um dia de promoção no buteco da esquina, você compra 1 antártica e eles te dão 3. Você compra 2 antárticas e eles te dão 4. A função "f" agora modela o dia de promoção do buteco na esquina e você pode facilmente dizer a quantidade de cervejas que você vai comprar quando for lá(no dia de promoção).

Esse exemplo foi horrendo, vamos usar conjuntos diferentes, observe esse exemplo:

$$\mathrm{Armas}=\{\mathrm{Espada},\mathrm{Faca},\mathrm{Machado},\mathrm{Cajado},\mathrm{Martelo}\}$$ $$D=\{\mathrm{Verdadeiro},\mathrm{Falso}\}$$ $$\mathrm{Cortante}:\mathrm{Armas}\to D$$ $$\mathrm{Cortante}\left(\mathrm{Espada}\right)=\mathrm{Verdadeiro}$$ $$\mathrm{Cortante}\left(\mathrm{Faca}\right)=\mathrm{Verdadeiro}$$ $$\mathrm{Cortante}\left(\mathrm{Machado}\right)=\mathrm{Verdadeiro}$$ $$\mathrm{Cortante}\left(\mathrm{Cajado}\right)=\mathrm{Falso}$$ $$\mathrm{Cortante}\left(\mathrm{Martelo}\right)=\mathrm{Falso}$$
Note aqui que eu mapeio para elementos repetidos do conjunto "Armas" pro conjunto "D". Isso é válido. O que não pode acontecer é:

$$\mathrm{Cortante}\left(\mathrm{Martelo}\right)=\mathrm{Verdadeiro}$$ $$\mathrm{Cortante}\left(\mathrm{Martelo}\right)=\mathrm{Falso}$$
Para a função matemática funciona assim, mesmo que isso não seja exatamente verdade no mundo real.

Como todo conhecedor de fantasia medieval sabe, arma cortante causa menos dano em morto-vivo(Ou arma de concussão causa mais, mas a gente vai reduzir as armas de corte). Suponha que no seu mundo só tem essas 5 armas. Então você pode usar essa função pra abstrair se a arma do indivíduo é cortante ou não. Você sai de um mundo onde você tem 5 elementos para um onde só tem dois. E você facilmente responde a sua pergunta.

Funções são particularmente úteis no meio da computação, onde as abstrações para as construções de algoritmos são necessárias. Elas também são especialmente úteis na matemática quando ela possuem propriedades especiais como as transformações lineares. O que discutiremos nas próximas postagens sobre matemática! Abraços!