Pensando Sobre Matemática #58 - PEMDAS cap. 2

A matemática tenta, mas tenta muito fortemente, fazer todo o sentido do mundo sendo completamente lógica. Baseado em diversos fundamentos lógicos extensíveis a diversas área diferentes da ciência,

Só que todo esse argumento caiu por terra após Gödel anunciar a incompletude da matemática. Existem coisas que nunca serão provadas mas que serão verdade, eu diria que esses são os axiomas mas é um pouco pior, pois essas coisas estão dentro de um sistema de axiomas. Pra piorar, você náo pode provar que um sistema axiomático é verdadeiro. Você apenas pode provar quando ele é falso e bom, um sistema axiomático falso não serve pra nada.

E mesmo assim, como em toda a ciência a matemática tem convenções e hoje vamos destrinchar uma delas, o PEMDAS.

Se você perdeu a nossa postagem anterior sobre isso, que foi feita pelo nosso outro escritor, J., você pode conferir rapidamente aqui. Vai lá e confere enquanto isso porque a gente não vai sair daqui.

Bom, a convenção é certamente aleatória, mas ela tem uma razão de existir e a razão é: Matemático é tudo viado.

Ok, isso foi meio forte, vamos deixar isso um pouco mais bonitinho. Matemáticos gostam de simplificar notações. Para demonstrar isso, iremos usar uma expressão bastante simples, que vai tornar complicada devido a notação simples, porém extensa. $$(a+(2*\left(2^2\right)\left)\right)-\left(\right(5+5)+5)$$ Bom, o que acontece aqui? Tem tanto parenteses nessa expressão que da até dor de cabeça pra ler isso. E os matemáticos não são muito fãs de coisas que eles não conseguem ler, e além do mais são muito preguiçosos. Nenhum deles parou pra escrever num papel todas as casas decimais do pi. Além do mais, essa notação não é bela. Ela é particularmente efetiva caso alguém queira realmente avaliar o resultado dessa expressão porém é completamente exaustiva. Quando você usa o PEMDAS, a expressão fica dessa forma: $$a+2*2^2-(5+5+5)$$ Muito mais suave.

É verdade. Se você retirar a ordem de precedências das operações você vai ter que definir todas as expressões entre parenteses para enunciar qual entidade está operando com qual e assim conseguir montar a árvore de operações. Sim. Uma das formas de se analisar uma expressão matemática é criando uma árvore de operações para escrever qual operação acontece primeiro. Toda essa brincadeira de colocar parênteses ou o próprio PEMDAS, é uma forma de definir a árvore de operações em uma única linha de forma compacta.

Na verdade os matemáticos simplificam muito as notações. Quando se estuda Álgebra Linear, é introduzido o conceito de soma vetorial. Se esse conceito não fosse definido, as operações de Álgebra linear seriam tremendamente mais complicadas. Eu não quero nem imaginar o que seria da expressão: $$Ax=b$$ Onde "A" é matriz e "x" e "b" são vetores-coluna. Escrever operação por operação que acontece com os elementos dos vetores daria uma dor de cabeça miserável. Então as notações são simplificadas pelos matemáticos para facilitar o trabalho de quem lê um texto sobre matemática e também o de quem escreve. Não é a toa que quando você le um artigo sobre matemática ou que exige matemática, a primeira parte é apenas para definição do problema e sintaxe utilizada.

Até porque escrever uma árvore de expressão inteira usando grafos dá muito mais trabalho, mas isso fica pra outro post.