Essa superfície aí, por exemplo, é contínua ou descontínua?
Continuidade é uma coisa relativamente simples de se falar, mas definí-la com precisão pode ser uma tarefa um pouco mais árdua do que parece. Por exemplo: Uma linha contínua é aquela que você não tira o lápis do papel para desenhar. Realmente, você vai conseguir desenhar uma linha contínua dessa forma, só que essa definição na verdade vai pro outro lado. Se você não tira o lápis do papel, você gera de fato uma curva contínua, mas será que você gera esse mesmo tipo de coisa tirando o lápis do papel?
- Parece que não, mas a resposta é sim!
- Wtf?
É porque tem um pequeno problema que geralmente passa desapercebido porque depois da 8a. série a galera só quer falar de número real. Daí a matemática discreta perde toda a sua importância e você fica meio que a ver navios. É meio difícil entender a continuidade seccional sem um pouquinho de matemática discreta.
Ok, agora começou a complicar, mas entenda que tem tudo a ver com o domínio e mais uma coisa importantíssima que na maioria dos casos passa desapercebida: Ordem.
Sim. A existência de ordem entre os números é extremamente importante. Se os números não tivessem ordem, não teria recorrência, não teria derivada, não teria uma porção de coisas que fazem as coisas funcionarem. Veja bem que a matemática funciona sem ordem, mas certamente não chegaria nem na metade do caminho que já chegamos hoje.
Então, pegue uma função definida apenas sobre os números inteiros. Relações de recorrência tem esse tipo de comportamento. Aliás, o que são esses conjuntos se não sequências de elementos, nesse caso não se sabe o início da sequência nem o fim, mas certamente se sabe que dá pra contar e que existe ordem na bagunça.
Se você define uma função para números inteiros e de repente tem um buraco nela, um número para o qual a função não segue a regra, essa é uma função descontínua. É muito fácil pensar em uma função descontínua que é definida para todos os números, até mesmo os reais, quer ver só? pronto, no ponto 1 essa função vai pra 100, enquanto a regra normal diz que o valor dela no ponto 1 deveria ser 0. Pronto, descontinuidade. Você não precisa tem um ponto onde o valor é indefinido pra gerar descontinuidade, basta que você tenha coisas que tenham múltiplos padrões,
E agora é que vem a parte mais complicada. Continuidade é uma propriedade local das funções, e não global. É claro que a gente relaxa a definição especialmente para funções bem comportadas, mas a verdade é que é uma propriedade definida em uma determinada parte da função, isso é o que permite a existência da continuidade seccional, por exemplo, e de outras funções com características curiosas como a função de Heaviside ou o Delta de Dirac. Funções muito famosas quando se estuda uma boa transformada de LaPlace.
Continuidade é definida através de limite. O que torna a coisa bem complicada de entender. Limite em niveis técnicos se resolvem aplicando técnicas, mas os conceitos de limite são, de fato, bem mais profundos do que meros problemas de convergência. Podemos dizer que existe continuidade quando as duas condições a seguir são respeitadas: Se isso acontece a gente pode dizer que a função é contínua naquele ponto, e nada mais que isso. E é isso que faz com que a primeira função apresentada aqui seja descontínua. Note que existem sinais próximos a variável "a" no ponto onde dizemos o valor para o qual o limite está sendo avaliado. Isso determina a direção pela qual nós estamos nos aproximando, e para a existência da continuidade, o resultado tem de ser o mesmo independente da direção
Se continuidade em uma dimensão ja é difícil, imagine em duas onde você tem mais direções para atingir um determinado ponto...
Nenhum comentário:
Postar um comentário