Pensando Sobre Matemática #46 - Sequências

Um dos grandes objetos de estudo da matemática é algo que aparece no nosso cotidiano.

E não estamos falando de jogos de cartas, apesar deles também aparecerem bastante.

Estamos falando de sequências. Algo que é bastante intuitivo até, porém necessitamos de algumas coisas importantes aqui. Vamos colocar uma definição rápida aqui de sequência:

Sequência: Lista ordenada de elementos.

É importante frisar aqui que a ordem da sequência não precisa ser a ordem natural das coisas. Por exemplo, a ordem natural das cartas seria algo do tipo:

2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < J < Q < K < Ás

Mas se eu embaralho as cartas de um baralho, e coloco a pilha sobre a mesa, uma sequência de 5 cartas que você poderia comprar, ignorando os naipes, obviamente, poderia ser:

J, 3, 6, 6, 9

Note que existe uma ordem na qual as cartas apareceram. Note que mesmo os elementos não estando na ordem natural ainda assim formam uma sequência.

Note que aqui já definimos dois ingredientes necessários para se gerar um sequência:

• Conjunto de elementos
• Ordem arbitrária

A sua sequência pode beirar o ridículo e ainda assim ser importante. Por exemplo essa aqui:

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2

E obviamente, como os matemáticos gostam ela pode ter 2 ate o infinito:

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2...

Legal, só que para definir uma ordem, nós precisamos de alguém que já possua uma ordem natural. Nós precisamos relacinar os elementos da sequência com objetos que já possuam essa ordem inerente a eles. Estams falando, é claro, dos números naturais. Isso permite definirmos sequências utilizando os índices: $$S=\{a_1,a_2,a_3,...\}$$ Ah, mas por que sequências são importantes?

Depende muito do contexto, mas, geralmente, a análise das sequências permite a identificação de padrões. Quando as sequências são numéricas, você pode dizer alguma propriedade sobre ela como a convergência para um determinado valor, o que permite provar o uso de algoritmos, como Newton-Rhapson, ou os métodos iterativos para solução de sistemas lineares.

Mas a brincadeira é muito similar a brincadeira que você faz na ciência em geral. Uma equação na ciência só é útil se ela consegue prever, com algum grau de precisão, um determinado fenômeno. As sequências só passam a se tornar úteis se você consegue descobrir o padrão que leva ao próximo elemento utilizando os elementos que são anteriores a ele.

Só que tem alguma perguntas que rodam todas as sequências. Se estamos falando de aleatoriedade, a previsão do próximo resultado não seria posssível. Por exemplo, qual é o próximo elemento da sequência {1, 2, 3}? Parece que é 4, mas a única pessoa que pode dizer se realmente é isso mesmo é o portador da sequência, ou a própria sequência. O que pode acontecer é que a sua previsão para o próximo elemento pode estar furada.

Bom acho que isso é o bastante sobre sequências. Bons estudos!

Imagens:
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