Pensando Sobre Matemática #23 - Números Complexos

A gente um dia se depara com isso. O maldito "i" fez uma revoluação enorme na matemática. E até hoje não é aceito por muitas pessoas, igual os números negativos. Tem gente que até hoje não aceita número negativo por nada nesse mundo. Imagina então pisar na terra dos imaginários!

Não, não é desses imaginários. Ative o seu javascript pra pegar o MathJax!

Vamos começar com um pouquinho de história. Um belo dia alguém estava estudando equações de segundo grau e se deparou com um termo muito feio mesmo. Dado que a forma genérica de uma equação do segundo grau é: $$a{x}^2+bx+c=0$$ Só que pra resolver isso, o cara tinha inventou um termo que ele resolveu chamar de deltar que usa os coeficientes da equação, ou seja, as variáveis a, b, e c, que geralmente são dadas quando a gente está resolvendo o problema. Ele chegou a conclusão de que ele precisava saber o seguinte valor: $$\Delta =\sqrt{b^2-4ac}$$ Só que só de olhar pra isso você já vê que isso pode dar algum ruim.

Ou talvez você não veja o ruim que pode dar, então a gente explicita pra você. Não existe raiz quadrada de número negativo. Em outras palavras $\Delta$ não tem valor nenhum se: $$4ac>b^2$$ Só que veio um cara e falou que não estava ligando pra isso. Ele ia fazer a raiz quadrada de qualquer número negativo. Pra isso ele só precisava fazer a raiz quadrada de -1. Já que qualquer coisa multiplicada por -1 dá o seu simétrico, se ele tivesse a raiz quadrada disso ele poderia retirar qualquer valor negativo de uma raiz quadrada apenas multiplicando por essa valor aí. Nós agora estamos supondo que ele estava com a imaginação muito louca e resolveu convencionar a coisa como "i" de imaginação. Em outras palavras ele convencionou que: $$i=\sqrt{-1}$$ E agora ele resolvia o problema dele. Se ele quisesse resolver alguma raiz quadrada que tivesse um valor negativo ele simplesmente tirava o i de dentro da raiz quadrada e ficava uma raiz quadrada solucionável com o i do lado. Por exemplo: $$i\sqrt{a}=\sqrt{-a}$$ Pronto. Agora todo mundo podia resolver equações do segundo grau sem ficar com a pulga atrás da orelha porque agora tinha um forma de resolver. Só tem um problema só, como é que esse "i" vai ser interpretado fisicamente?

- Ele não é interpretado fisicamente, ele só chega, faz mágica e vai embora
- Como?

Sim. ESsa coisa não é interpretada fisicamente. Ele só faz essa magia pra gente poder fazer meia dúzia de cálculos e obter algum resultado. Eu já falei uma vez da identidade de Euler por aqui, e devo falar dela pelo menos muitas outras vezes, mas é porque ela é só uma das muitas formas de se fazer magia. Daí surgiu uma área completamente nova. Os números complexos. Que são um conjunto de números que englobam os reais.

Só que matemático é tudo um bando de careta. Nunca consegue fazer algo novo sem reaproveitar o velho e acabou que os números complexos podem ser escrito como um vetor de dois números reais, sendo que o segundo termo sempre aparece mutliplicado pelo "i" que, pela convenção, a não ser que o texto diga o contrário, ou ele esteja sendo usado como iterador(Porra, i, decide!), ele é a raiz quadrada de -1. A gente diz que um número complexo "Z" pode ser representado como outros dois reais. Geralmente as pessoas chamam ele de "a" e "b", mas como eles já são coeficientes da equação de segundo grau lá atrás, nós vamos chamá-los de "Cowboy" e "Galudo".

Por que? Porque eu posso. $$Z=\mathrm{Cowboy}+\mathrm{Galudo}.i$$ Isso só me força a explicitar as multiplicações porque senão as variáveis juntas vão ficar parecendo uma palavra só.

Bom, ja temos um número no campo dos complexos. A pergunta é: "Dá pra voltar ao mundo real?" E a resposta é: "Sim!" Voltar ao mundo real é possível, de diversas formas, mas nesse caso em que o i aparece assim desse jeito mais bobinho, a gente só precisa de um cara parecido com o Z, que por motivos de não saber usar o MathJax em toda a sua plenitude eu vou apelar. Eu vou usar o seguinte termo: $$W=\mathrm{Cowboy}-\mathrm{Galudo}.i$$ Quando você multiplica Z por W: $$W.Z=(\mathrm{Cowboy}-\mathrm{Galudo}.i)(\mathrm{Cowboy}+\mathrm{Galudo}.i)={\mathrm{Cowboy}}^2-{\mathrm{Galudo}}^2$$ - Opa, aqui não tem mais "i". É uma subtração de reais que consequentemente da um número real. Eu não deveria obter um número complexo?
- Claro que iso é complexo! $$W.Z={\mathrm{Cowboy}}^2-{\mathrm{Galudo}}^2+0.i$$ Os complexos engloba os reais, Então todo número real também é complexo. Só que a parte imaginária deles é zerada. Isso permite que você trabalhe apenas no campo real depois de fazer qualquer calculo que seja facilitado indo pro mundo complexo.

Existem outras transformações que pegam coisas complexas e transformam elas em reais, mas aí já não dá pra falar nesse artigo que ja tá extenso. Por hoje é só!


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fantamasdolago.blogspot.com