Pensando sobre Matemática #21 - Progressão Geométrica

Ja imaginou que coisa doida. Você pensar numa sequência de números onde o próximo é o anterior multiplicado por algum número? Óbvio que não, porque alguém pensaria em uma coisa dessas!

Bom a galera da grécia antiga pensou. Ative o seu Javascript e vamos revisitar o nosso querido Zenão!

De novo você por aqui!?

Bom. Acho que vocês lembram do paradoxo de Zenão. Aquiles corria atrás da tartaruga e sempre tinha que passar pelas metades das distâncias pra chegar na tartaruga. Não precisa nem ir tão longe não, na verdade você pode pensar que você nunca chega a uma parede que dista 1cm de você.

Só que, bem, na verdade você chega na parede. Você pode não entrar na parede, até porque isso implicaria em um salto quântico e até agora não se tem notícias desse acontecimento, mas a idéia é que o seu destino seja a fronteira entre a parede e a não parede. Então suponha que você esteja a um 1m da parede. Daí você tem que passar por todos os bocadinhos antes de chegar na parede. Vamos supor que esses bocadinhos sejam as metades das distâncias. Você vai estar nas seguintes posições nessa sequência: 1/2m, 3/4m, 7/8m, 15/16m... e por aí vai. Enquanto os seus passos seguem a seguinte sequência: 1/2m, 1/4m, 1/8m, 1/16m... e por aí vai.

Na verdade o que está acontecendo é que os termos das posições são os somatórios das sequências dos passos. Ainda está estranho? Ok. Vamos olhar para as sequências dos passos então. cada passo é essencialmente a metade do outro. então podemos escrever cada passo "i" da seguinte forma: $$p_i={\left(\frac{1}{2}\right)}^i$$ Note que aqui não tem o passo 0. Porque ele é 1.

Note que o próximo termo sempre é o anterior multiplicado por 1/2. Na verdade isso é justamente uma progressão geométrica. Só que nós vamos formalizar um pouco a definição de progressão geométrica e trabalharemos com ela. Para ter uma progressão geométrica você precisa de:

• O elemento inicial, geralmente chamado de a0
• A razão da progressão, a qual geralmente recebe o nome de q

A regra de ouro da progressão geométrica é: $$a_{i+1}=q.a_i$$ Se você for por aí da pra notar que: $$a_{i+1}=q.a_i=q.q.a_{i-1}=q^2.a_{i-1}$$ Isso fica mais fácil de se notar quando você vai chega mais perto do 0. repara só: $$a_2=q.a_1=q.q.a_0=q^2.a_0$$ Dá pra notar que no fundo no fundo: $$a_i=q^i.a_0$$ E note você que isso vale para o próprio a0. Substitua i por 0 na equação e você obterá a0 = a0.

Mas você lembra da outra sequência do paradoxo, aquela que somava os passos pra chegar na parede? Pois é, aquela sequência na verdade é o somatório dos termos da outra sequência até o termo escolhido como parada. Então se quisermos somar três passos, somamos 1/2 + 1/4 + 1/8, e ja sabemos que a resposta é 7/8. Mas será que existe um jeito mais legal de escrever isso?

Oras, mas é claro que tem. $$S_n=\sum _{i=0}^n{a}_i$$ O que você pode não saber é que existe uma fórmula fechada pra calcular isso sem você precisar correr esse somatório todo. E vamos deduzir ela agora ao vivo e a cores! Pra isso vamos precisar daquilo que chamamos de relação de recorrência, que nada mais é que você escrever o próximo termo em função do anterior. Essa aqui é moleza, é só você pegar o somatório e adicionar o próximo termo: $$S_{n+1}=S_n+a_{i+1}$$ Só que pra fazer a fórmula ficar mais simples, nós vamos reduzir todos os termos em função de outros dois que podem resumir a coisa toda. Vamos escrever o somatório de novo com base apenas em a0 e q: $$S_n=\sum _{i=0}^n{a}_0.q^i$$ Como a0 é constante nesse somatório, nós podemos fatorá-lo da seguinte forma: $$S_n=a_0.\sum _{i=0}^n{q}^i$$ Só que agora que vem a mágica. Nós vamos manipular essa expressão algébricamente para obter algo parecido com o somatório incluindo o próximo termo. Para fazer isso vamos explicitar um pouco esses somatórios para n e para n + 1. $$S_n=a_0.(q^0+q^1+q^2+\mathrm{...}+q^n)$$ $$S_{n+1}=a_0.(q^0+q^1+q^2+\mathrm{...}+q^{n+1})$$ Repare que se eu multiplicar Sn por q eu obtenho uma coisa desse tipo: $$q.S_n=q.a_0.(q^0+q^1+q^2+\mathrm{...}+q^n)$$ Só que isso vai aumentar as potências daquela soma de potências de "q" resultando em: $$q.S_n=a_0.(q^1+q^2+q^3+\mathrm{...}+q^{n+1})$$ Agora nós adicionamos a cxerejinha do bolo pra fechar o somatório: $$q.S_n+a_0.q^0=a_0.(q^1+q^2+q^3+\mathrm{...}+q^{n+1})+a_0.q^0$$ Isso permite que a gente feche o somatório com a seguinte expressão, já que "q" elevado a 0 é 1: $$q.S_n+a_0=a_0.\sum _{i=0}^{n+1}{q}^i$$ Opa mas esse somatório é justamente o somatório da progressão até o termo n + 1! Isso significa que: $$q.S_n+a_0=S_{n+1}$$ Agora nós vamos aplicar isso na relação de recorrência: $$S_{n+1}=S_n+a_{i+1}$$ $$q.S_n+a_0=S_n+a_{i+1}$$ Só que a gente sabe escrever o i-ésimo termo da progressão usando a0 e q. Jogando uma coisa pra cada lado: E a conclusão da mágica é: $$S_n=a_0.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$ Agora vamos finalizar matando o paradoxo. Lembra a razão do paradoxo de zenão? Se você não lembra a razão é 1/2. Quando você substitui "q" por 1/2 a sua equação fica assim: $$S_n=a_0.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$$ Só que quando n cresce. aquela potência de 1/2 vai chegando cada vez mais perto de 0. A gente considera que no infinito aquele termo vai ser igual a 0.

Vou deixar você pensar o que acontece com o somatório, então.