Pensando Sobre Matemática #9

Estamos novamente com mais um Pensando Sobre Matemática! Tentando descomplicar a sua vida sobre esse assunto que você usa todo o dia!

Lembrando que o MathJax estará sendo usado nesse post!

Hoje vamos falar um pouco sobre Vectores. Que aqui no Brasil são chamados de Vetores, mas em Portugal são Vectores, e eles ficam curiosamente mais comicos com essa letra c no meio. Não se preocupe pois no resto do texto nós usaremos a forma brasileira mesmo.

Acho que todo mundo já se enrolou com vetores alguma vez na vida.

O que é um vetor? No sentido grosseiro da coisa, um vetor é uma lista ordenada de coisas. Até o endereço da sua casa pode ser um vetor! Especialmente porque o número da sua casa não é o suficiente para descrever a localização dela. Por exemplo, você pode entender o endereço de uma pessoa da seguinte forma:

Endereço = ("Rua Adalberto de Souza", 66)

Não eu não quis usar o MathJax ali, eu não ligo se você gostou ou não. Porque eu sou bobo, chato, feio, e cara de mamão.

Note que aqui eu não usei chaves, porque chaves são utilizadas para definir conjuntos, e em conjuntos eu não posso repetir elementos.

Beleza, mas por que essa é a forma grosseira de definir vetores?

Porque na definição formal, pra você definir vetores, você precisa dos operadores de adição, e multiplicação bem definidos para os vetores e os elementos que os compõem! Então o seu endereço não pode ser um vetor(pelo menos não formalmente) porque você não pode simplesmente somar endereços, afinal dados dois endereços "E" e "F", isso aqui: $$E+F$$ Não está bem definido. E mesmo se estivesse o nosso endereço é um grupo de elementos onde o primeiro é uma rua e o segundo é uma lista, ou seja, dados uma rua "R" e um número "A" você ainda precisaria definir o que significa: $$R=\mathrm{"Rua\; das\; Trincheiras"}$$ $$A=\mathrm{32}$$ $$R.E$$ $$A.E$$ Aí sim você teria vetores.

Vetor é tudo aquilo que petence a um espaço vetorial, e são compostos por escalares. Se as operações estivessem definidas, "endereço" seria o vetor, enquanto "rua", e "número" seriam os escalares que compõem o vetor "endereço". Qualquer coisa que seja compostas por coisas menores e tenham essas operações bem definidas é um vetor.

E pra piorar nossa vida, o nosso vetor só precisa de um escalar que o componha. Isso geralmente dá um nó na cabeça, mas você pode encarar os números como vetores compostos por um unico escalar.

Essas coisas geralmente aparecem quando a gente está estudando funções, física ou geometria analítica. Mais em física, quando a gente estuda cinemática. Não sei se vocês lembram quando a gente tinha velocidade vetorial e velocidade escalar. Oras, a velocidade vetorial na verdade ela é composta por velocidades escalares. A forma vetorial serve para ilustrar melhor os propósitos geométricos da coisa. É mais ou menos assim, eu tenho um objeto andando com uma velocidade vetoral v: $$\overrightarrow{v}=(2,2)$$ O que diabos isso significa?

Pra dizer o que isso significa, você tem que dizer o que esses dois números representam. O primeiro representa a velocidade dele no sentido horizontal, sendo que quando esse número é positivo, ele está andando para a direita, e quando é negativo, para a esquerda. O segundo representa a velocidade no sentido vertical, sendo que é para o cima quando positivo, e para baixo quando negativo. A velocidade está em m/s

Sabemos então que ele está indo ao mesmo tempo para a direita e para cima. E sabemos que ele está indo a 2m/s para a direita, e a 2m/s para cima. Utilizamos essa forma vetorial para melhor descrevermos o movimento do objeto em um plano. Graças a essa notação, sabemos que na verdade a sua trajetória é diagonal. Note que conseguimos descrever essa trajetoria diagonal utilizando duas trajetórias em reta!

Legal, mas quando a gente está em um carro, a gente não vê dois medidores de velocidade, a gente só vê um, mesmo fazendo tantas curvas e mudando a nossa direção várias vezes. Aquele medidor está errado?

Não! O medidor está correto, mas aquele medidor só é capaz de medir a sua velocidade em uma trajetória onde você só pode ir para frente ou para trás. Isso não torna a velocidade vetorial inútil. Se você prender um rato em uma caixa e observá-lo de cima, você vai precisar de velocidade vetorial para entender o movimento do rato.

E ela pode ser entendida como um vetor! Suponha que dois caras estão puxando uma caixa por cordas. Se um cara puxa a caixa para o leste com velocidade de 2m/s, e o outro puxa para o norte com velocidade de 2m/s, nós temos aqui duas velocidades vetoriais que se somam: $${\overrightarrow{v}}_1=(2,0)$$ $${\overrightarrow{v}}_2=(0,2)$$ $${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{caixa}}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2$$ Agora vem a parte mais legal! O resultado disso! $${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{caixa}}=(2,2)$$ Por que? Vamos generalizar as coisas um pouco: $${\overrightarrow{v}}_3=(a,b)$$ $${\overrightarrow{v}}_4=(c,d)$$ $${\overrightarrow{v}}_3+{\overrightarrow{v}}_4=(a+c,b+d)$$ Em outras palavras, somar duas velocidades, significa somar suas componentes separadamente para produzir uma nova velocidade.

E você pode multiplicar a sua velocidade! Se eu dobrar a velocidade do movimento da caixa, eu tenho: $$2.{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{caixa}}=(4,4)$$ Em termos gerais: $$2.{\overrightarrow{v}}_3=(2.a,2.b)$$ Como estão bem definidas as operações de adição e de multiplicação por escalar. Podemos dizer que a velocidade é um vetor.

Então, por hoje é só pessoal! Boa sorte com os Vectores!