Hoje nós iremos falar sobre a disciplina que foi amplamente difundida por Euclides em sua obra "Elementos". Na verdade não é um livro escrito por ele, ele só pegou um monte de textos que já existiam e os juntou de forma concisa. Formando então aquilo que muitos ainda consideram o melhor tratado sobre geometria existente.
Bom, vamos partir do começo que é a própria palavra "geometria". A composição da palavra é justamente aquilo que nossa intuição nos diz. "Geo" classifica terra, e "Metria" vem justamente de medir. Tecnicamente geometria é uma disciplina feita para medir a terra, até porque esse era justamente o propósito dela antigamente.
Por que? Bom, suponha que você é um fazendeiro no antigo egito, ou até mesmo hoje em dia. Como é que você mede a quantidade de terra que você tem pra plantar e até pra poder cercar a coisa toda?
Aha! É aí que entra a geometria. Vamos medir a terra! Mas como? Bom na antiguidade você pegava dois caras com uma corda grande, que caminhavam lado a lado e você tentava inferir o tamanho da terra pelo número de passos. É uma forma horrenda e cheia de falhas? Sim. Mas apesar de funcionar, precisamos de coisas melhores e mais confiáveis.
A coisa evoluiu e saiu do campo meramente numérico. Os problemas de geometria era muito baseados em calcular comprimentos e áreas na roma. Enquanto na Grécia, eles tinham um caráter muito mais abstrato. Hoje em dia trilhamos o caminho abstrato, apesar da maioria só estar interessada no concreto.
Bom, mas podemos chegar as conclusões do concreto através do abstrato. Vamos começar a brincadeira.
Pra facilitar a brincadeira, eu vou tentar colocar alguma imagens aqui. Note que dessa vez eu não vou usar o MathJax, uma vez que ele não é muito bom pra fazer nada com imagens que geralmente é desejável em geometria. No lugar dele eu vou usar o Tabulae que você pode baixar gratuitamente no http://tabulae.net.
Bom, a brincadeira da Geometria é toda feita com três objetos. Geralmente são pontos, retas e planos, porque isso condiz com a medição de terra, mas o aparato lógico funcionaria se você trocasse por cerveja, batatas, e calabresa. Mas na abordagem clássica:
Destacado temos 6 pontos, mas o que importa daí é que temos, um ponto solto, uma reta, e um plano. É, eu sei que geralmente eles definem o plano como uma folha de papel meio enviesada, mas um triângulo também é um plano.
Legal. E como é que essa brincadeira toda funciona? Bom, existem regras pra brincadeira, as quais, dependendo de onde você esteja vendo, podem ser mais regras ou menos regras, mas todas elas giram em relação a esses três elementos. Abaixo vão algumas delas. Não vou enumerar todas.
- 1 - Existem infinitos pontos. Sério mesmo. Você pode sair distribuindo ponto por tudo quanto é lado que não vai acabar. A beleza na geometria é justamente a ordem que pode ser encontrada nesse caos infinito de objetos.
- 2 - Por dois pontos passa uma única reta. Isso significa que qualquer reta pode ser definida por apenas dois pontos. Justamente por isso que tem aqueles dois pontos definindo aquela reta lá.
- 3 - Toda reta possui pelo menos dois pontos distintos. Isso faz a distinção entre ponto e reta.
- 4 - Existem pelo menos 3 pontos não colineares. Isso faz a distinção entre pontos retas e planos. Note que como sempre existe uma reta entre dois pontos, não é necessário que entre três pontos existam três retas. Quando isso acontece, dizemos que os pontos são colineares.
- 5 - Dados dois pontos colineares e distintos, apenas um está entre os outros dois. Quando dizemos que um ponto está entre outros dois, estamos também dizendo que eles são colineares.
- 6 - Dados dois pontos "A" e "B", existem "C" e "D" de modo que, "C" está entre "A" e "B"; E "B" está entre "A" e "D", e todos eles são distintos. Ou seja, entre dois pontos, existe um terceiro ponto colinear entre eles dois, e um quarto ponto colinear fora dos outros dois.
Isso também garante que que "C" vai estar entre "A" e "D", e que "B" vai estar entre "C" e "D", e também garante o fato de existir uma certa ordem entre os pontos.
Outra coisa que você deveria notar é que eu estou dando um nó na sua cabeça de propósito. Eu estou sendo contra-intuitvo e colocando o ponto "C" entre "A" e "B". Se você estiver com alguma dúvida do que está acontecendo, favor olhar para a figura.
Isso tem uma função mais importante, provar a continuidade da reta e a existência de infinitas retas e a infinitude da reta, além da definição de segmento de reta.
Segmento de reta é um pedaço de uma reta que compreende todos os pontos que estão entre outros dois. Todos os pontos entre A e C, inclusive o próprio A e o próprio C formam um segmento de reta.
Agora vamos continuar com os axiomas:
- 7 - Todo par de pontos define um segmento e possui um número real não negativo associado que é a distância. Definiremos os segmentos através dos pontos que os definem.
- 8 - Se C está entre A e B, então AB = AC + CB
Com a definição de distância da pra definir o que é uma circunferência, que nada mais é do que um espaço onde todos os pontos são equidistantes e distintos de um determinado ponto que é chamado de centro.
Os raios da circunferência tem a propriedade de serem iguais por definição. Não tente provar esse tipo de coisa.
E com isso já da pra fazer algumas coisas, como por exemplo, construir triângulos equiláteros. Dentre outras construções. Quanto mais axiomas você colocar, mais construções interessantes(ou não) você consegue fazer e medir. E dependendo de como você faz essas construções, você chega ao objeto esperado.
Geometria é uma matéria bastante complicada, mas vale bastante a pena de ser estudada, uma vez que muitas outras coisas vieram dela.
Até mais! E um abraço!
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