Pensando Sobre Matemática #6

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Cientistas, aqueles seres que são buscadores das verdades que rodeiam o planeta. Eles tentam cada vez mais responder perguntas cada vez mais complicadas sobre todo o tipo de coisa que acontece neste planeta e até fora dele.

Mas o que diabos é verdade ou não? O que a gente pode dizer que está certo e está errado? O estudo que nos permite dizer isso é o estúdo do raciocínio lógico. Lógica como vocês sabem é uma palavra que vem do grego "logos" e significa algo como "razão", e ela serve para estudar o raciocínio dedutivo. Prontos?

Vamos começar com dedução. O que porventura seria isso? Será que e quando você tem uma quantidade de dinheiro e o banco te tira algum fazendo uma dedução do valor que você tinha anteriormente? Não. Dedução aqui é o processo que nos permite responder perguntas através de verdades anteriores.

A coisa começa a complicar por aí. Pra ter uma dedução você precisa de verdades anteriores. Como é que você vai dizer que alguma coisa é verdade se você precisa de alguma verdade pra isso?

Pra lógica isso não importa muito. A lógica vai te ajudar na seguinte situação: Você tem um conjunto de verdades pré-estabelecidas e precisa responder as perguntas que lhe são feitas a partir delas. E ela pode falhar! Ás vezes o que você tem não é o suficiente para responder a pergunta que é feita. E daí você precisa decidir o que fazer com esse papelão.

Então que a lógica precisa para funcionar? Ela precisa de uma linguagem, uma semântica, e de regras de funcionamento. Nós iremos definir aqui a linguagem padrão que é usada por aí junto com a semântica. Nós temos então:

• Proposições
• Operadores
• Fórmulas

O que é uma proposição? Bom, a proposição pode ser entendia como uma variavel, mas ela é basicamente um fato que pode ser tanto verdade ou mentira dependendo do mundo onde você está. Denotaremos elas como se fossem variáveis representadas por letras maiúsculas. Ex:

$$A$$ Bom, os operadores vocês sabem que é aquela coisa que geralmente faz as engranagens do sistema funcionar. Pra você ter um sistema completo você precisa apenas de dois operadores, mas a gente vai usar os clássicos 4 operadores porque são muito mais intuitivos pois são usados corriqueiramente na nossa linguagem.

$$\wedge :E$$ $$\vee :\mathrm{Ou}$$ $$\to :\mathrm{Se,\; então}$$ $$\neg :\mathrm{Não}$$ E pra fechar, fórmulas são composições de proposições e operadores.

$$(\neg A\vee B)\to (C\wedge D)$$ Note que aqui também usamos parenteses para indicar qual operação deve ser feita primeiro. Na verdade geralmente definimos uma ordem de precedência igual a gente faz na aritmética. Na ordem, fazemos assim: $$\neg ,\wedge ,\vee ,\to$$ O Não é óbvio, mas eu geralmente uso parenteses quando aparece muitos dos outros três operadores.

Legal, mas o que isso tudo significa? Agora é que entra a semântica. Essas coisas aí vão dizer o que é verdadeiro ou falso. Qualquer fórmula, até porque a sua fórmula pode ser apenas uma única proposição solta, pode assumir apenas um dentre dois valores citados anteriormente. Esse valor será dado através das proposições e das operações. Como dito antes, uma proposição É uma fórmula, e da mesma forma só pode assumir um de dois valores. Só falta definir agora como os operadores se comportam. Geralmente fazemos isso através de uma tabela verdade. Ex:
$$\neg$$ $$\begin{array}{cc}A& \neg \\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}\end{array}$$ Isso parece um bocado intuitivo, não parece? A tabela verdade do não. Tudo o que ela faz é inverter o valor da fórmula. Então se A é verdadeiro, não A é falso. O próximo operador também é fácil, que será o "E". Uma fórmula que contém o E só será verdadeira se ambas as fórmulas operantes também são verdadeiras.

$$A\wedge B$$ $$\begin{array}{ccc}A& B& \wedge \\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\end{array}$$ Note que as tabelas operam similarmente as funções matemáticas vistas anteriormente. O que eu estou fazendo aqui é enumerando os resultados de acordo com o domínio da função. Como o domínio é limitado, eu posso simplesmente enumerá-lo em uma tabela. A última coluna nesse caso, mostra o resultado da operação de acordo com os valores dos operadores.

E para fechar a postagem eu vou apresentar a tabela do "ou":

$$A\vee B$$ $$\begin{array}{ccc}A& B& \vee \\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\end{array}$$ Essa aqui é menos intuitiva pois geralmente quando falamos em "ou" nós falamos da forma exclusiva dele, que possui uma tabela verdade diferente dessa. A idéia desse ou é a seguinte, imagine uma mochila. Se eu digo que tem uma banana ou uma maçã nessa mochila, pode ter as duas ao mesmo tempo. Ou se você preferir, se pra fazer um reparo eu posso usar tanto uma chave de fenda quanto uma chave philips para um determinado parafuso "p", então serve chave de fenda ou chave philips.

Eu não vou fazer a ultima tabela da implicação aqui. Eu irei fazê-la na próxima postagem porque essa já está bastante extensa. Um abraço e até a próxima semana!