Pensando Sobre Matemática #7

Fala galera! Hoje iremos dar continuidade de onde paramos na semana passada! Se você perdeu, de uma lida aqui. Nós não iremos a lugar algum enquanto você o faz!

Lembrando que ontem foi o dia internacional da mulher, por isso não tivemos postagens. Não deu vontade de ficar falando de desenvolvimento ontem. Então simplesmente cortei a postagem de ontem, mas já estamos de volta com a programação normal.

Lembrando que esse post conta com o MathJax, então esteja em um navegador com o Javascript ativado!

O que temos feito até então? Temos criado um sistema para analisar raciocínios dedutivos. É basicamente isso que é a lógica. Não é a toa que existem diversos tipos dela, mas aqui nós estamos olhando a Lógica Clássica Proposicional. Algumas irão lidar com probabilidades como a Lógica Fuzzy, e outras irão olhar para os operadores de modo diferente. A proposicional serve bastante os nossos propósitos porque parece fazer sentido.

Então vamos voltar para definir o operador de implicação. Esse aqui merece uma discussão especial porque dependendo do jeito que você o define a sua lógica acaba operando de uma forma diferente. Vamos pensar numa sentença qualquer como: Se chove então cai água do céu. Eu vou assumir o seguinte:

$$\mathrm{Chove}=C$$ $$\mathrm{Cai\; água\; do\; céu}=A$$ Eu só estou atribuindo os eventos a variáveis pra simplificar as fórmulas. A fórmula que estamos procurando é:

$$C\to A$$ Bom, o que o nosso mundo diz, é que se chove então cai água do céu, então vamos supor que está chovendo. Se meu parceiro, o Zé Alfredo, falar que está esta caindo água do céu, certamente isso está correto, porque está chovendo. Se ele falar que não está caindo água do céu, certamente é mentira porque no nosso mundo, se está chovendo, com certeza está caindo água do céu. Isso é similar a dizer que:

$$\begin{array}{ccc}C& A& C\to A\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\end{array}$$ Você pode entender isso de outra forma. Se chove e não cai água do céu, então dizer que chover não necessariamente faz água cair do céu. Isso obviamente não condiz com o mundo real, mas vem a calhar em outras situações.

Po, legal, mas e quando não está chovendo? O que pode ser disto a respeito disso?

É aqui que o bicho pega. É geralmente por causa disso que esse operador da problema e porque ele geralmente é analisado mais a fundo. Como proceder então?

Bom, vamos puxar um pouco da retórica. Existe uma coisa que a gente diz que é demonstração por negação. Apesar de não ser necessariamente verdadeira, a brincadeira é: Se não está caindo água do céu, então não está chovendo. Se você considera isso válido então podemos dizer colocar mais uma linha na tabela.

$$\begin{array}{ccc}C& A& C\to A\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}\end{array}$$ Beleza! Então se não está chovendo e não está caindo água do céu, a fórmula é verdadeira. Faz sentido até no mundo real. Só falta um caso a se considerar:

$$\begin{array}{ccc}C& A& C\to A\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& ?\end{array}$$ Bom, cair água do céu e não chover por um acaso invalida o fato de que se chove cai água do céu?

A resposta é não. Veja bem, não importa o quanto o ar condicionado do décimo oitavo andar está pingando exatamente na sua cabeça, não muda o fato de que, se chover então cai água do céu. Então para nós será válido que:

$$\begin{array}{ccc}C& A& C\to A\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\end{array}$$ A nível de lógica proposicional. Dizemos então que o operador de implicação se comporta da seguinte forma:

$$\begin{array}{ccc}C& A& C\to A\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}\end{array}$$ Então, temos como todos os quatro operadores da lógica! Com isso você basicamente pode resolver qualquer fórmula que aparecer na sua frente, contanto que esteja enunciando antes que estamos trabalhando no domínio da proposicional.

Bom, agora vamos nos voltar para um conceito mais geral, que independe da lógica que está sendo trabalhada. Alguém aí sabe o que é uma Tautologia?

Tautologias, são fórmulas que são sempre verdadeiras que independem do mundo que você está trabalhando. Em outra palavras, você não precisa saber o valor das proposições que tem na tautologia porque o resultado é sempre verdade! Obviamente cada lógica terá suas próprias tautologias, mas vamos pensar no campo da lógica proposicional. Se estamos nesse campo, então isso:

$$B\vee \neg B$$ Na lógica proposicional, isso SEMPRE será verdade.

E bem... você pode negar uma tautologia, o que na verdade é uma contradição. Analogamente, negar a contradição te da uma tautologia, por exemplo, a seguinte sentença é uma contradição:

$$T\wedge \neg T$$ Pelo simples fato de que não da pra uma coisa ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Como toda fórmula pode ser encarada como uma função, então elas não podem assumir dois valores simultaneamente.

E por fim, na lógica proposicional, você pode transformar uma sentença em outra através de equivalência. Por exemplo, será que existe uma fórmula cuja tabela verdade seja igual a tabela verdade de outra? Existe, observe o exemplo:

$$A\wedge B$$ $$\begin{array}{ccc}A& B& A\wedge B\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\end{array}$$ Como eu sou um cara safo, eu vou pegar uma fórmula que eu já conheço que é equivalente, eu vou fazer uma tabela maior, mas observe que eu apenas fragmentarei as proposições pra facilitar o entendimento do que está acontecendo:

$$\neg (\neg A\vee \neg B)$$ $$\begin{array}{cccccc}A& B& \neg A& \neg B& \neg A\vee \neg B& \neg (\neg A\vee \neg B)\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Veraddeiro}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}\end{array}$$ Condensando a tabela um pouquinho:

$$\begin{array}{ccc}A& B& \neg (\neg A\vee \neg B)\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\end{array}$$ Opa! Olha isso:

$$\begin{array}{cccc}A& B& A\wedge B& \neg (\neg A\vee \neg B)\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Verdadeiro}\\ \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Verdadeiro}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\\ \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}& \mathrm{Falso}\end{array}$$ Dessa tabela podemos concluir que:

$$(A\wedge B)\to \neg (\neg A\vee \neg B)$$ $$\neg (\neg A\vee \neg B)\to (A\wedge B)$$ Sempre que uma fórmula tiver o mesmo resultado que outra fórmula, prara os mesmos valores das suas proposições, elas são equivalentes, como as duas observdas anteriormente. Isso mostra que é possível simplificar expressões lógicas da mesma forma que simplificamos expressões aritméticas.

Bom, ja escrevi bastante. Se vocês quiserem que eu continue, só me avisar pelos comentários, caso contrário, devo iniciar outro tópico na semana que vem! Abraços!