Pensando Sobre Matemática #20 - Equação do Segundo Grau

Vams começar uma brincadeira um pouco nova por aqui. Vamos começar a mostrar também a beleza de algumas fórmulas mágicas que existem na matemática que geralmente passam desapercebidas pelos nossos olhos.

Liguem o Mathjax!

Até porque, quem fica procurando beleza em fórmula matemática?

Essa aqui é linda.

Bom, Existem diversas equações por aí que servem para uma porção de coisa, mas poucas vezes nós nos lembramos da beleza delas. Eu vou tomar um pouco da inspiração de Ian Stewart e vou fazer uma brincadeira parecida.

Contemplem então: $$a{x}^2+bx+c=0$$ Aposto que essa aqui todo mundo conhece.

Ta, nem todo mundo. Isso aqui a gente geralmente vê na 8a série. Ou 9o. ano se você preferir. Essa é a famosa equação do segundo grau. Antes da gente começar a falar de coisas sobre ela. Vamos tentar explicar uma situação onde ela aparece pra gente ver que ela não foi estudada a toa. E a gente vai embarcar pelos conceitos bem simples de física.

Sabemos o conceito de velocidade média. Se você está andando na rua, tomando a esquina como o ponto 0 e vai até a outra esquina que dá 200 metros, em 10 minutos, qual é a sua velocidade média? Essa não é nem difícil. Mas eu vou dar logo a cola da fórmula geral: $$V_{\mathrm{Media}}=\frac{S_{\mathrm{Final}}-S_{\mathrm{Inicial}}}{\mathrm{Tempo}}$$ Simples fácil e prático.

Isso é legal, mas e se a coisa está acelerando/freiando? Como é que isso funciona? Como é que a gente calcula esse tipo de coisa? Não sei, mas dá pra gente pensar em uma aceleração média. $$A_{\mathrm{Media}}=\frac{V_{\mathrm{Final}}-V_{\mathrm{Inicial}}}{\mathrm{Tempo}}$$ Já que a aceleração é o quanto a velocidade vai mudando ao longo do tempo. Oras, se você pensar em uma aceleração constante. A média da aceleração vai ser justamente ela mesma, concorda? Da mesma forma como a média de uma velocidade constante é ela mesma.

Ta, mas a gente quer saber em que posição o carro vai parar quando eu pisar no freio pra eu saber se o freio é bom ou não. Uma aceleração negativa é perfeito para ilustrar isso, pois o carro pára de se mover quando a velocidade dele chega a 0. E a gente pode usar a fórmula da aceleração pra resolver isso, só que isso ainda não resolve o problema de onde o carro parou.

Mas espera, e se eu tivesse outra forma pra calcular a velocidade média? Como eu to assumindo que a aceleração é constante, ou seja, o carro não fica dando umas gnadas loucas e se comporta bem dá pra dizer que a média da velocidade é algo bem similar a média aritimética das velocidades. $$V_{\mathrm{Media}}=\frac{V_{\mathrm{Final}}+V_{\mathrm{Inicial}}}{2}$$ Só que pela aceleração média, que nesse caso é constante, da pra dizer que: $$A_{\mathrm{Media}}.\mathrm{Tempo}+V_{\mathrm{Inicial}}=V_{\mathrm{Final}}$$ Então eu vou adicionar uma velocidade inicial dos dois lados e depois dividir tudo por dois. $$A_{\mathrm{Media}}.\mathrm{Tempo}+2V_{\mathrm{Inicial}}=V_{\mathrm{Final}}+V_{\mathrm{Inicial}}$$ $$\frac{A_{\mathrm{Media}}.\mathrm{Tempo}}{2}+V_{\mathrm{Inicial}}=\frac{V_{\mathrm{Final}}+V_{\mathrm{Inicial}}}{2}$$ Se você ainda não viu: $$\frac{A_{\mathrm{Media}}.\mathrm{Tempo}}{2}+V_{\mathrm{Inicial}}=V_{\mathrm{Media}}$$ E quando você joga isso lá naquela equação que que calculava velocidade média usando a posição inicial e a final: $$S_{\mathrm{Final}}=S_{\mathrm{Inicial}}+V_{\mathrm{Inicial}}.\mathrm{Tempo}+\frac{A_{\mathrm{Media}}.{\mathrm{Tempo}}^2}{2}$$ Caceta! É a fórmula do Movimento com aceleração constante! E quando você trata o tempo como a incógnita da equação, você tem uma equação do segundo grau. Se você quiser saber os instantes de tempo em que o carro vai estar em determinada posição com um movimento acelerado/freiado constante é só você usar isso aí.

E obviamente resolver a equação do segundo grau que vem associada a ela.

Pode parecer que não, mas isso é utilizado mais pra frente em outras áreas da matemática. Até porque, quando você estuda as soluções desse tipo de equação, você descobre que tem coisa que não tem solução mesmo. Que não tem número conhecido que responda. As equações do segundo grau na verdade é o toque na superfície do mundo complexo, onde existe raiz de número negativo. E aí o buraco fica fundo.

Mas ela serve pra outras coisas também. Dá pra fazer arte com essa equação. Na verdade, fica mais interessante quando você pensa em função do segundo grau. Que serve pra você descrever parábolas. E quando o coeficiente associado ao termo quadrático é negativo, dá pra você desenhar uns belos vitrais de igreja ou uns belos portais. Você pode usar parábolas para desenhar superfícies com uma curvatura acentuada. Obviamente que como função só da pra desenhar uma cuia ou um vitral. Pra desenhar a parábola para outras direções você precisa de geometria analítica.

E se você for bastante fundo na matemática, vai ver essa equação aparecendo de novo no meio das equações diferenciais. Que é um assunto absurdamente mais complicado que uma mera equação de segundo grau, mas que se apoia nesse tipo mais simples pra conseguir ser solucionada. Não é interessante citar todo o porque disso por aqui.

Deu pra notar que é uma bela equação?