Pensando Sobre Matemática #18 - O Princípio da Integração

Algumas vezes estamos em um problema de somar coisas. Não necessariamente somar, mas muitas vezes juntar coisas ou acomodar coisas. Nem sempre conseguimos por causa das peças que nos são dadas, mas as vezes podemos quebrar essas coisas.

E hoje vamos falar um pouco sobre coisas quebráveis, vamos falar sobre o princípio da integração.

O que é uma integral para uma pessoa que está acostumada com a operação? Bom, a gente tem uma variável, e faz a integração em cima de uma função dela. O caso mais normal é isso: $$\int f\left(x\right)dx$$ Ok. isso não te ajuda muito. Mas afinal, o que essa operação quer dizer? O que isso significa?

A integral é um limite. Sim. Isso mesmo, a integral acontece quando você tem um somatório infinito que converge para um determinado valor. Esse somatório na verdade tem uma cara muito peculiar para poder convergir sempre, pelo fato de ele se dar em um intervalo fechado, e o aumento das parcelas do somatório faz com que a razão das parcelas seja cada vez menor. Resumindo, você soma um todo grande pedacinho por pedacinho. Isso fica mais fácil quando a gente pensa na origem da integral.

Quando a integral surgiu, o problema era muito mais simples. Calcular a área abaixo de uma curva. O problema é, quando a curva não tem padrão nenhum, como é que você calcula a área dela? Por exemplo, calcular a área de uma elipse não é exatamente simples. Se você conseguisse calcular 1/4 da área de uma elipse você já mataria o problema, mas como calcular esse 1/4, já que mesmo a curva tendo um certo padrão, não existe uma formula de área específica pra ela?

E newton, veio com a idéia:

Ele pensou: Vou dividir isso aí em um monte de retangulinhos. A área não vai dar igual, mas vai dar alguma coisa aproximada!

E a coisa deu certo.

Na verdade quando você faz um retângulo tão pequeno, tão pequeno, que passa a ser como se fosse um pedacinho perfeito, sem acrescentar nada da área, nem tirar nada da área. A altura, é f(x), e a base é dx. Daí você soma isso: $$\sum _{i=0}^{\infty }f\left(x_i\right)dx$$ Só que isso geralmente converge, e como converge a gente troca essa soma infinita praquela coisa que a gente viu la em cima.

E qual é a coisa interessante disso? Bom, o princípio da integração diz uma coisa muito simples. Você pode obter o todo somando pedacinhos. Suponha que você tem que empilhar papéis. Se você colocar um papel de cada vez na pilha, você vai conseguir, em algum momento, terminar de empilhar. Em outras palavras, se você não consegue fazer uma tarefa de uma vez só. Faça ela aos pouquinhos!

E isso é tudo sobre o princípio de integração!