Pensando Sobre Matemática #16 - Transformações #2

Alguém já fez alguma medição de pH na vida? Não!? Bom, tudo bem, não se preocupe, nós não iremos falar sobre isso hoje. Estaremos dando sim continuidade ao tópico de transformações, pelo simples fato de transformações serem coisas muito legais.

E como sempre, pensar sobre matemática tem o apoio do nosso querido MathJax. Sem ele nossas equações aqui nesse blog não seriam nada.

Mentira, seriam sim, mas seriam todas escritas em LaTeX e vocês iam ter que se virar pra traduzir isso.

Bom, o MathJax não transforma, mas LaPlace o faz. Hoje eu vou falar sobre a transformada de LaPlace, ou o macete mais macetoso da matemática.

A transformada de LaPlace serve pra transformar funções, ou seja, você tem uma função com uma cara feia, e transforma ela em algo com uma cara bonita. A cara da função fica tão bonita que ela se torna uma coisa operável. Eu lembro de um professor falando que todos tinham que aprendê-la, devido a sua beleza.

E cá estou eu, falando sobre ela. Não é uma aula inteira sobre ela, mas acho que dá pra entender alguma coisa. Vamos entender algumas coisas, básicas para esta transformação. Ela é uma integral. Se você sabe o que é uma integral, beleza. Se você não sabe, saiba que a integral pode ser entendida como uma outra transformação.

E a função gerada pela integral serve pra calcular a área abaixo da curva de uma dada função dado dois delilmitantes. Existe todo um argumento geométrico pra definir isso que já foi dado por Newton, mas existem outras formas de se provar que isso tudo funciona. Poucas coisas aqui importarão para nós, e as equações serão listadas abaixo. $${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$ Esse é basicamente o teorema fundamental do cálculo. Essas funções f(x) e F(x) caminham uma na direção da outra. f(x) para F(x) fazendo a integral de f(x), e você pode voltar para f(x) a partir da derivada de F(x).

Agora nós vamos tirar a integral de uma função exponencial muito específica: $$\int e^{-kx}dx=-\frac{1}{k}{e}^{-kx}$$ Repare que nessa integral eu não coloquei os limites de integração. Você pode até fazer isso, mas isso não possui muito rigor matemático. Isso serve apenas para ver qual é a função pai da que você está integrando. outra coisa importante é essa base de potência "e". Ela é muito importante pois é uma notação comum dizer que "e" é um número irracional com propriedades bem específicas chamado de número de Euler.

Fora o fato de que algumas funções não são integráveis, mas isso é um papo bem mais avançado.

E bom, para o raciocínio ficar completo, você precisaria do conceito de limite, mas nós vamos relaxar isso, da seguinte forma: $$e^{-\infty }=0$$ Ok. Acho que com isso nós ja temos como explicar a santa transformada. Na verdade eu to vendo que já vamos precisar de algumas outras coisas, mas acho que eu vou poder explicá-las conforme as coisas vão acontecendo. Por exemplo a trannsformada de uma função de x é a seguinte: $${\int }_0^{\infty }{e}^{-sx}f\left(x\right)dx=L\left(f\right(x\left)\right)$$ É importante notar que que a integral aqui tem os limites indo de 0 até infinito, e isso é importante, pois mesmo não pegando toda a extensão de uma dada função de x, a transformada continua sendo mágicamente válida. Note que estamos usando aqui L(f(x)) para indicar que é a transformada de Laplace sobre a função f. Até um número tem uma função. Por exemplo a transformada de 1 é: $$L\left(1\right)={\int }_0^{\infty }{e}^{-sx}1dx=-\frac{1}{s}{e}^{-\infty }+\frac{1}{s}{e}^{-0}=0+\frac{1}{s}=\frac{1}{s}$$ Note também que a transformada de Laplace é uma função de uma nova variável "s".

- S? Como assim? Que variável mística é essa?

Calma, na verdade esse s aí tem uma razão para aparecer. Na verdade ele faz parte da razão pra transformada existir, que é relativamente simples. Perceba que ela é a integral de um produto. Dependendo de qual desses caras do produto cai pra 0 mais rapidamente do que o outro vai pra infinito a transformada existe. Mas existem funções que tendem pra infinito mais rápido do que aquela potência tenderia para 0 não importa o tamanho do "s".

Ok, a princípio parece que eu transformei um simples 1 em uma coisa mais complicada. E isso parece completamente inútil. Lembra que eu falei que o poder dela é transformar coisas não operáveis em operáveis? Bom, existem algumas funções que são basicamente condicionais. Se comportam de um jeito para uma faixa de valores e de outro para outras faixas. E não, isso não é incomum. Como trabalhar com esse tipo de coisa? Bom você pode tornar esse tipo de coisa operável com a magia da transformada de LaPlace!

Ok? Não acredita em mim, veja então a função de Heaviside! E outras distribuições de probabilidade! Elas podem ser transformadas e então você pode transformá-las em coisas operáveis. Cara! Você ta pegando distribuições de uma variável, e transformando em uma coisa que você pode somar! Você não pode simplesmente somar e subtrarir variáveis aleatórias, mas você pode fazer isso com a transformada delas.

E bom, tudo o que é operável pode ter uma transformada também, você pode trabalhar no mundo das transformadas e depois destransformar pra obter uma resposta final. Ou deixar esse trabalho pra outra pessoa.

No momento eu não vou falar exatamente sobre como é a cara da transformada da função de Heaviside. Vou deixar por aqui pois já falei bastante coisa sobre a transformada de LaPlace. Falaremos mais na semana que vem!