Pensando Sobre Matemática #77 - Soluções de Equações Diferenciais #1

Eu preciso modernizar um pouco esse quadro porque escrever as expressões matematicas direto no MathML dá MUITO trabalho.

Mas enquanto isso não acontece...

A gente vai do jeito que dá mesmo, esse post demora um pouco pra sair mas sai bonito. Ele é metade da inspiração que eu tive pra falar sobre matemática esses dias, então esse vai ter fórmula mas o post seguinte provavelmente não vai ter. Vamos começar falando um pouco sobre equações diferenciais. Eu nunca falei disso antes e eu provavelmente precisaria fornecer mais histórico sobre isso. Então eu vou começar com o basicão que é só pra dar uma refrescada na memória e fornecer uma base pra quem não conhece.

Primeiro tem que saber que existem duas transformações para funções contínuas: A derivada e a integral. Pra equações diferenciais você precisa saber que as funções tem derivadas, e que algumas derivadas podem ser escritas usando a própria função. Ou como você já deve ter deduzido, a derivada é uma transformação em uma função o que consequentemente gera outra função.

Ah sim, transformação é um termo pra função também. Eu só queria não usar a mesma palavra tantas vezes na frase anterior mas ficou meio impossível.

De qualquer forma você escreve a coisa dessa forma genérica. $$g(f,x)$$ $$f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)$$ isso quer dizer que g pode ser entendida como uma função de dois parâmetros, mas g também é a derivada de f, fechou? Então vamos imaginar uma equação diferencial beeeeeem simpleszinha pra gente trabalhar um método de solução específico. A maioria das pessoas começa mostrando o método onde surge uma integral pq quando se fala de cálculo já se ensina a pessoa a integrar coisas, e a integral é quase uma operação inversa da derivada. Tem uns por menores então não vai achando que é a inversa não. O nosso exemplo é o seguinte. $$g(f,x)=f\left(x\right)+x$$ Bacana? Se você conhece funções polinomiais, suas derivadas tem uma propriedade muito interessante que é a queda de grau. Na verdade você pode dizer que dada uma função polinomial $$P\left(t\right)=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i.t^i$$ Tem derivada: $$P\text{'}\left(t\right)=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i.i.t^{i-1}$$ Interessante, né? Só que veja você que nesse contexto os polinômios não encaixam cê vai tentar derivar os bagulho e ó... $$f\left(x\right)=\frac{x^2}{2},g\left(x\right)=x\to g(f,x)\ne f\left(x\right)+x$$ $$f\left(x\right)=\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2},g\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+x\to g(f,x)\ne f\left(x\right)+x$$ Como você pode observar, as igualdades não batem. E agora? O que fazer? Sentar no chão e chorar? Aprender a integrar? Mandar a equação pra casa do baralho?

- Não, jovem mancebo. Você não é esse tipo de pessoa, veja você que você pode procurar polinômios até o infinito e não vai achar...
- Mas pera, você disse infinito?
- Pooooo... pode crer, infinito... E se o polinômio for infinito? Logo sua derivada também é um polinômio infinito! Mano, e se a gente macetar?
- Macetar?
- É! a gente subtrai os polinômios infinitos de modo que aconteça algo específico.
- Poooooo, pode crer.
- Daí é só acertar os coeficientes pra ficar do jeito que a gente quer. Repara só. $$P\left(t\right)+P\text{'}\left(t\right)=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i.t^i+\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i.i.t^{i-1}$$ Só que o primeiro termo do somatório da derivada é 0! Logo você pode ignorar ele e juntar os coeficientes $t^i$ da seguinte forma: $$P\left(t\right)+P\text{'}\left(t\right)=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i.a_{i+1}.(i+1).t^i$$

Bacana, agora olhando pra equação diferencial, fica mais fácil de entender a coisa, a derivada da função tem que ser igual ao resto do polinômio do segundo grau em diante, só mudando ali no primeiro grau. Se você quisesse fazer com que a derivada desse um polinômio infinito exatamente igual ao anterior você poderia definir os coeficientes através da seguinte relação de recorrência $$a_{i+1}=\frac{a_i}{i+1}$$ Só que nesse caso aqui, tem que ter uma discrepância específica pra que quando nós façamos o decréscimo do polinômio pela sua derivada, sobre um termo no primeiro grau. Especificamente: $$a_1-a_2.2=1$$ Enquanto o resto segue a regra. Logo a solução em forma de séries para essa equação diferencial é: $$f\left(x\right)=P\left(x\right)=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i.x^i$$ $$a_1-a_2.2=1$$ $$a_{i+1}=\frac{a_i}{i+1}$$ Lembrando que nesse caso, a relação de recorrência só não se aplica ao segundo termo.

Sim. Essa é uma solução possível, um polinômio de grau infinito. Não é uma função exatamente bonita, mas é perfeitamente válido. E, honestamente, com essa notação de sigma nem fica tão ruim. Note também que é dependente do coeficiente então você pode montar infinitos poinomios ai nessa bagaça.

Mas repare em uma coisa, você criamos uma função que quando derivada é igual a ela mesma. Na verdade tem outra função que quando você deriva dá ela mesma... hmmmm... o que será que isso significa? Talvez no próximo episódio nós descubramos!