Pensando Sobre Matemática #74 - Bhaskara

E vem aí: a equação do segundo grau!

Ok, pra fazer o gráfico você usa função, mas eu vou aproveitar e tentar colocar de outra forma como a equação e a função se relacionam. Vá para um navegador que tenha um Javascript porreta porque aí vem o MathJax!

Eu vou falar essas baboseiras todas apenas com o intuito de demonstrar a fórmula de Bhaskara, e pra isso eu vou me aproveitar de uma relação aqui emprestada da física que é a do movimento uniformemente acelerado. Que é quando você tá andando em linha reta pisando no acelerador, claro, desprezando o atrito com o ar. Com essa relação você acha em qual ponto da reta você está dado um determinado instante de tempo. $$S\left(t\right)=S_0+v.t+\frac{a}{2}.t^2$$ Como é que você escreve a função? Você pega os valores do tempo, e coloca eles em um dos eixos(geralmente na abscissa) e acha os valores do espaço que seria o lugar da reta onde você está. Isso é relativamente fácil de se fazer né, porque você substitui e acha o valor do ponto. Então se você quiser saber onde o cavalo tava no início do movimento: $$t=0\to S\left(0\right)=S_0+v.0+\frac{a}{2}.0^2=S_0$$ Só que aí sempre tem aquele corno que tava olhando praquilo e falou: "Porra, mas se o crime aconteceu ali, então tem que ser no momento que o cavalo esteve ali. Qual foi o momento que o cavalo chegou ali então?". Eu devo dizer que eu gostei desse exemplo porque o cavalo acelera infinitamente. - Kkkkkkkkkkkkk - Mas enfim, traduzindo isso em termos práticos ele quer dizer o seguinte: $$S\left(t_1\right)=K\to t_1=?$$ Só que quando ele diz isso, ele também diz que: $$S\left(t_1\right)=S_0+v.t_1+\frac{a}{2}.{t_1}^2\to S_0+v.t_1+\frac{a}{2}.{t_1}^2=K$$ E pá! apareceu a bendita. E é assim que nasce uma equação de uma função, quando você quer saber o caminho inverso, então eu vou pegar aquele quadrado lá e dar uma ajustada só pra tirar aquele denominador chato e dar uma cara bontinha pra coisa. Considerando: $$\frac{a}{2}=c$$ Temos $$S_0+v.t_1+c.{t_1}^2=K$$ E agora sim, temos uma equação do segundo grau do jeito que a gente quer. Nesse caso com a variável $t_1$

- Ah ma não pode ser com o x isolado igual função do primeiro grau!?
- Até pode. No final o resultado vai ser o mesmo. $$v.t_1+c.{t_1}^2=K-S_0$$ Bom se você compreende o princípio das equações, um lado é igual ao outro, então um lado multiplicado por um fator é igual ao outro lado multiplicado pelo mesmo fator. A gente vai se aproveitar disso pra gerar uma estrutura bem específica. A gente vai multiplicar tudo por 4c: $$4.c.(v.t_1+c.{t_1}^2)=4.c(K-S_0)$$ $$4.c.v.t_1+4.c.c.{t_1}^2=4.c(K-S_0)$$ $$4.c.v.t_1+4.c^2.{t_1}^2=4.c(K-S_0)$$ Agora a gente soma $v^2$. Isso tudo é pra poder gerar uma soma de quadrados de um lado pra gente poder fatorar. $$v^2+4.c.v.t_1+4.c^2.{t_1}^2=v^2+4.c(K-S_0)$$ $${(v+2.c.t)}^2=v^2+4.c(K-S_0)$$ E olha só, agora a gente consegue tirar a raiz dos dois lados e isso permite a gente a trabalhar com a incógnita sem potência. $$v+2.c.t=\sqrt{v^2+4.c(K-S_0)}$$ E agora ficou moleza né? Mas tem um detalhe sórdido aqui relacionados a quadrados. Sempre que eles aparecem a sua equação ramifica porque, veja bem: $$a^2=b\to {(-a)}^2=b$$ Então por causa disso você vê que há duas soluções possíveis.
$$v+2.c.t=\sqrt{v^2+4.c(K-S_0)}$$ $$v+2.c.t=-\sqrt{v^2+4.c(K-S_0)}$$ Isso certamente encerra o nosso assunto aqui, pois demonstramos já a razão pro método de Bhaskara funcionar, mas se você for um bom observador, certamente já viu que essa raiz quadrada aí deve dar uma dor de cabeça gigantesca.

E isso é tudo! Por agora... ;D


Imagens:
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