Pensando Sobre Matemática #72 - A Mega Sena da Virada. - Agora com Errata.

Antes que você pense que eu vou te dar um jeito matemático para você encontrar os próximos números da Mega Sena. Saiba que isso não existe.

Agora que você já sabe isso podemos passar para o próximo estágio. Liga o MathJax(Javascript) e simbora.

Nós já falamos sobre probabilidade antes no blog, so que certamente nós nunca cobrimos esse detalhe, e existe uma razão para isso. O matemático não curte muito jogos de azar. Ele curte mais jogos de sorte onde ele possui alguma probabilidade de ganhar. O que isso quer dizer? Vamos descobrir. Vamos dar um pulinho em teoria dos jogos mas é coisa rápida.

Teoria dos jogos é simplesmente a matemática que analisa a tomada de decisão, o que é perfeito para apostas. Cardano, o homem da equação polinomial do quarto grau, fez muito dinheiro com apostas, só que, maroto como sempre foi, seu jogo não era justo.

Mas o que diabos é um jogo justo?

Oras, um jogo justo é um jogo onde a probabilidade de vitória é igual a probabilidade de derrota. Não estamos falando aqui de habilidade de jogadores. Estamos falando em um jogo onde a sua vitória depende apenas de qual decisão você vai tomar entre as possíveis. Geralmente aproximamos jogos de cara ou coroa como jogos justos pois a probabilidade dos resultados é aproximadamente igual. O resultado depende apenas da sua escolha. Em teoria dos jogos a coisa fica mais ou menos assim. $$\begin{array}{ccc}& \mathrm{Escolha\; Cara}& \mathrm{Escolha\; Coroa}\\ \mathrm{Moeda\; Cara}& \mathrm{50\%}& \mathrm{0\%}\\ \mathrm{Moeda\; Coroa}& \mathrm{0\%}& \mathrm{50\%}\end{array}$$ Agora, para que o jogo seja justo, a quantidade de dinheiro que você investe tem que ser a mesma quantitade que o jogo paga. Em outras palavras, em um Cara ou Coroa. Se você dá um real. O jogo precisa te dar 2 reais porque a probabilidade de vitória é 1/2. Em outras palavras, para que o jogo seja justo, seja E o valor de entrada, e Q a quantia paga em caso de vitória, e "p" q probabilidade de vitória, o jogo é justo se: $$E=Qp$$ Um jogador esperto vai jogar se: $$E<Qp$$ Já o não tão esperto: $$E>Qp$$ Agora vamos a segunda parte, a Mega Sena tem muitas combinações possíveis. Pra ser mais exato: $$J=\frac{\mathrm{60}!}{\mathrm{54}!6!}=\mathrm{36045979200}$$ E é aqui que começa a errata porque na verdade eu esqueci de dividir por 6!. O resultado correto é: $$J=\frac{\mathrm{60}!}{\mathrm{54}!6!}=\mathrm{50063860}$$ Esse número me assombrou por muito tempo. Isso porque, se você pegar essa probabilidade corrigida e aplicar no preço do bilhete para o jogo justo, supondo que a Mega Sena sorteou 306 milhões, você vai obter o seguinte valor: $$E=\frac{\mathrm{306000000}}{\mathrm{50063860}}=\mathrm{6,1121935064535575163401303854717}$$ EEEEEEEEEEEEEEPA Pera lá. A Mega Sena é um jogo injusto para a loteria!? Pode isso Arnaldo? Depois de me questionar dessa forma eu fui ler algumas notícias e realizei o óbvio. Esses 306 milhões tem que pagar todos os ganhadores seja de Sena, Quina ou Quadra. Então eu fui atrás de regras no site da própria Caixa e aqui começa o pulo do gato.

62% pagam TODOS os ganhadores da Sena
19% pagam TODOS os ganhadores da Quina
19% pagam TODOS os ganhadores da Quadra

Vale frisar que se não for a Mega da Virada, as porcentagens são ainda mais cruéis com os vencedores, mas vamos lá. Então assumindo que a Caixa possuía 306 milhões para pagar o sorteio. O valor todo que iria para a Mega Sena seria de 189720000, só que:
$$E=\frac{\mathrm{189720000}}{\mathrm{50063860}}=\mathrm{3,7895599740012056601308808389924}$$ Hmmmmmm... Pelo visto o caroço desse angu é mais embaixo. Seria a Mega Sena da virada um jogo justo!?

Todos esses resultados seriam válidos se você comprasse apenas um ticket, porque toda a galera que joga tem que ser paga do mesmo jeito, então se por ventura 2 pessoas acertassem a Sena, o valor pago a elas seria de $$E=\frac{\mathrm{94860000}}{\mathrm{50063860}}=\mathrm{1,8947799870006028300654404194962}$$ Aaaaaaahn... agora o jogo começa a mudar de panorama porque você passa a ter que analisar todos os casos onde há mais de um vitorioso. Então aquela fórmula inicial para o jogo justo não vai servir. Vamos precisar melhorá-la, basta escrever uma fórmula específica para Q que descreva o valor médio pago pela Mega Sena. Um valor que naturalmente depende da quantidade de jogadores. $$Q=\sum _{i=1}^N{q}_i{p}_i$$ Onde:

N é a quantidade de Tickets comprados
$q_i$ é o valor pago a "i" ganhadores
$p_i$ é a probabilidade de termos "i" ganhadores

Com essa melhoria na fórmula temos o verdadeiro valor médio pago pela Sena, as quantidades são fáceis de calcular, mas probabilidades são um pouco mais chatas porque dependem na quantidade de jogadores(N) mas se você se interessar: $$p_i=C_i^N{\left(\frac{1}{\mathrm{50063860}}\right)}^i{(1-\frac{1}{\mathrm{50063860}})}^{N-i}$$ Onde $C_i^N$ é a Combinação de N elementos i a i.

Se você olhar para essa fórmula do valor médio, você vai ver que quanto mais tickets mais just o jogo fica pois o valor médio pago pela Sena aumenta. Se você emitir 250 milhões de tickets e todos eles forem comprados você vai ter um valor médio aproximado talvez até maior que um jogo justo, mas aí se você vende cade ticket por 3,50 você obteve 875 milhões de de lucro. Obviamente um pouco menos porque você ia ter que imprimir essa cacetada de ticket.

Foi quase, Mega Sena, mas a matemática ainda me protege de suas artimanhas.


Imagens:
https://g1.globo.com/loterias/noticia/mega-sena-pode-pagar-r-48-milhoes-nesta-quinta.ghtml