Pensando Sobre Matemática #73 - Questão 2 da Olimpíada de 2017

Eu demorei mas vem aí a resposta para a segunda questão da olimpíada de matemática de 2017!

Não se engane, teoricamente todas tem o mesmo nível de dificuldade. Liga o MathJax e vem comigo!


Pra você que não lembra esse é o enunciado da questão:
Dado que Imagem e Domínio de F pertencem aos Reais, quais funções obedecem a propriedade abaixo para todo x e y também reais? $$f\left(f\right(x)*f(y\left)\right)+f(x+y)=f(x*y)$$ Qual é o legal da coisa aqui. f(n) na verdade é uma função de uma variável só que mapeia do conjunto dos reais para o conjunto dos reais. Só que olhando assim não da pra tirar muita informação disso, não é mesmo? Então nós vamos fazer aquilo que os matemáticos fazem, vemos testar alguns valores que geram resultados muito mais previsíveis e vamos tentar usar isso para decifrar quais funções obedecem a tal propriedade.

A primeira função trivial é f(n) = 0. Demonstrar isso é fácil, basta substituir na fórmula e você vai ver que de um lado tem 0 e do outro também $$f(0*0)+0=0$$ $$0+0=0$$ Podemos notar também que não funciona com outras constantes, se você diz que f(n) = p logo se verifica que p = 0. $$f(p*p)+p=p$$ $$p+p=p$$ $$p=0$$ Então vamos partir pra outra empreitada.vamos supor que x = 0 e y = 0. Isso vai gerar um resultado particularmente peculiar. $$f\left(f\right(0)*f(0\left)\right)+f(0+0)=f(0*0)$$ $$f\left(f\right(0)*f(0\left)\right)+f\left(0\right)=f\left(0\right)$$ $$f\left(f\right(0)*f(0\left)\right)=0$$ E pra facilitar a nossa vida, vamos dizer que: $$f\left(0\right)=k$$ Logo: $$f(k*k)=0$$ Hmmm olha que interessante. A gente pode tentar tirar algum resultado disso se a gente fizer x = k e y = 0.(Ou vice-versa, dá na mesma). Repare só: $$f\left(f\right(k)*f(0\left)\right)+f(k+0)=f(k*0)$$ $$f\left(f\right(k)*k)+f\left(k\right)=f\left(0\right)$$ $$f\left(f\right(k)*k)+f\left(k\right)=k$$ $$f\left(f\right(k)*k)=k-f\left(k\right)$$ Então quando você supõe que f(k) = a você simplifica aquela equação e ela mostra um resultado bastante peculiar. $$f(k*a)=k-a$$ Então e se eu colocar x = k*b e y  k*c... hmmmm $$f\left(f\right(k*b)*f(k*c\left)\right)+f(k*b+k*c)=f(k*b*k*c)$$ $$f\left(\right(k-b)*(k-c\left)\right)+f(k*(b+c\left)\right)=k-b*k*c$$ $$f(k*k-k(b+c)+b*c)+k-(b+c)=k-b*k*c$$ $$f(k*(k-(b+c)+\frac{b*c}{k}\left)\right)-(b+c)=-b*k*c$$ $$k-(k-(b+c)+\frac{b*c}{k})-(b+c)=-b*k*c$$ $$k-k+(b+c)-\frac{b*c}{k}-(b+c)=-b*k*c$$ $$-\frac{b*c}{k}=-b*k*c$$ $$\frac{1}{k}=k$$ $$1=k^2$$ Eita boi! k tem um valor definido! Ou dois valores né, porque:
$$k=1,\mathrm{Ou}k=-1$$ Se você substitur na antígua equação você tem para cada um dos valores de k: $$f\left(a\right)=1-a$$ Ou $$f(-a)=-1+a=a-1$$ E essas são as funções para as quais a propriedade enunciada é válida. Pra verificar isso é só jogar na propriedade e ver se um lado é igual ao outro. Isso eu to com preguiça de fazer.

Ah, mas existe alguma outra função nos reais que tenha essa mesma propriedade? Não pois as funções saem diretamente da propriedade exceto para quando k = 0 porque em um momento aparece uma divisão por k. E como não podemos dividir nada por 0, essa verificação tem de ser feita avulsa, como no início do post.

ACABOOOOOOOOOOOOOOOOU! AEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE! PELO MENOS UMA SAIU!

Imagens:
http://knowyourmeme.com/memes/success-kid-i-hate-sandcastles