Pensando Sobre Matemática #61 - Desigualdades

Bom, quando você estuda a matemática você vê um monte de igualdades:

Só que e quando você tem desigualdades?

Não me leve a mal. Equações e relações de igualdade são um dos pináculos da matemática moderna. Equações sempre estiverem aí para relacionar duas coisas que parecem diferentes, mas que no final resultam mais ou menos na mesma coisa.

$$x=y$$

Mas e a outras relações da matemática?

$$a>b$$ $$b<a$$

Certamente não morrerão. Uma desigualdade é uma relação tão importante quanto uma igualdade. Na verdade qualquer relação pode ser importante, desde que as relações do seu sistema não comecem a se contradizer.

$$f>2$$ $$f<2$$

São também chamadas de desigualdades, e saber interpretá-las e trabalhar com elas é tão importante quanto as relações de igualdade. Na verdade não há muitas diferenças na forma como você trabalha com elas, mas é importante frisar que, diferente da igualdade aplicar uma determinada operação dos dois lados, pode invalidar a relação. Veja o exemplo abaixo o qual iremos denotár por Equação 1:

$$x>y$$

Se você multiplicar por -1 dos dois lados...

$$-x>-y$$

Essa informação contradiz a primeira. Você não pode fazer isso sem trocar o operador. Se você fizer isso passo a passo você verá porque não pode. Retire x dos dois lados.

$$x-x>y-x$$

Agora retire y dos dois lados.

$$x-x-y>y-x-y$$ $$-y>-x$$

Outras coisas também não podem ser feitas. Por exemplo, você não pode sair fazer divisões a torto e a direito. Veja que isso a princípio faz algum sentido para a Equação 1.

$$\frac{x}{y}>1$$

Mas se você pegar o domínio completo dos reais. Essa relação é facilmente falseada. Basta que y tenha um sinal diferente de x. Se a gente supor alguns valores aqui por exemplo x = 5  e y = -4:

$$\frac{5}{-4}>1$$

A afirmação é falsa porque essa divisão dá um resultado negativo que certamente não é maior que 1.

Você pode notar que inverter as coisas também não tem um resultado muito interessante:

$$\frac{1}{x}><mfrac><mi>1</mi><mi>y</mi></mfrac>$$

Essa afirmação também é falsa.

Esse tipo de coisa torna a desigualdade bastante repulsiva, só que são as desigualdades que padronizam regiões e criam problemas de domínio restrito. Você dificilmente vai caracterizar uma região através de expressões matemáticas se valer de operadores de desigualdade.

E se você parar pra ler o livro do Ian Stewart, você vai ver que uma das 17 equações é na verdade uma desigualdade. Não as subestime. Elas são importantes também.