Pensando Sobre Matemática #70 - A Identidade de Euler

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Não, pera...

Ok! Hoje eu vou demonstrar a coisa que só não é mais bonita que minha esposa e minha filha! A identidade de Euler! Eu não vou escrever ela agora de novo porque ta na imagem mas ela vai reaparecer no final, pode ficar tranquilo, e pra fazer isso eu vou precisar de uma coisa chamada Série de Taylor! Que bom que a gente viu isso antes né?

Eu particularmente não sei como Euler chegou no problema, então não vai dar pra montar historinha, mas a grande sacada de Euler foi olhar para a seguinte expressão: $$\mathrm{f(x)}=e^{i.x}$$ E pensar: "Uai, série de Taylor funciona pro mundo dos complexos também. Por que diabos eu não posso olhar pra isso como se fosse uma série de Taylor!?" E foi exatamente o que ele fez. $$\mathrm{f(a)}=T_1(x_0,a)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(a-x_0)}^j.f^j\left(x_0\right)}{j!}$$ Só que as derivadas nesse caso se tornam particularmente previsíveis! $$f^j\left(x\right)=i^j.e^{i.x}$$ Com isso: $$T_1(x_0,a)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(a-x_0)}^j.i^j.e^{i.x_0}}{j!}$$ Marotamente, ele pensou: "Oras. a Série de Taylor se expande a partir de um ponto, isso significa que eu posso escolher o ponto inicial. Se eu escolher o 0 eu acabo com esse inconveniente aqui." E foi exatamente isso que ele fez. Nessa jogada ele mata dois coelhos com uma caixa d`água só. $$T_1(0,a)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(a-0)}^j.i^j.e^{i.0}}{j!}$$ $$T_1(0,a)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{\left(a\right)}^j.i^j.1}{j!}$$ $$T_1(0,a)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{a^j.i^j}{j!}$$ Euler obteve um polinômio bastante característico. Era infinito sim, mas ele possuia um padrão... Uma padrão que ele já sabia muito bem como imitar. Existem outras duas séries que se expandem gerando um polinômio cujos coeficientes oscilam, vamos definir as séries de Taylor T2 e T3 para funções bem específicas: $$\mathrm{g(q)}=\mathrm{sen(q)}$$ $$\mathrm{h(w)}=\mathrm{cos(w)}$$ $$\mathrm{g(b)}=\mathrm{sen(b)}=T_2(q_0,b)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-q_0)}^j.g^j\left(q_0\right)}{j!}$$ $$\mathrm{h(c)}=\mathrm{cos(c)}=T_3(w_0,c)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(c-w_0)}^j.h^j\left(w_0\right)}{j!}$$ Mas como assim oscila? $$g^1\mathrm{(q)}=\mathrm{cos(q)}$$ $$h^1\mathrm{(w)}=-\mathrm{sen(w)}$$ $$g^2\mathrm{(q)}=-\mathrm{sen(q)}$$ $$h^2\mathrm{(w)}=-\mathrm{cos(w)}$$ $$g^3\mathrm{(q)}=-\mathrm{cos(q)}$$ $$h^3\mathrm{(w)}=\mathrm{sen(w)}$$ Eu vou quebrar os somatórios em 4: $$T_2(q_0,b)=B_0+B_1+B_2+B_3$$ $$B_0=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-q_0)}^{4.j}.g^{4.j}\left(q_0\right)}{(4.j)!}\right)$$ $$B_1=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-q_0)}^{4.j+1}.g^{4.j+1}\left(q_0\right)}{(4.j+1)!}\right)$$ $$B_2=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-q_0)}^{4.j+2}.g^{4.j+2}\left(q_0\right)}{(4.j+2)!}\right)$$ $$B_3=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-q_0)}^{4.j+3}.g^{4.j+3}\left(q_0\right)}{(4.j+3)!}\right)$$ Vamos colocar essas funções nessa maracutaia que eu fiz aqui: $$B_0=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-q_0)}^{4.j}.\mathrm{sen}\left(q_0\right)}{(4.j)!}\right)$$ $$B_1=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-q_0)}^{4.j+1}.\cos \left(q_0\right)}{(4.j+1)!}\right)$$ $$B_2=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-q_0)}^{4.j+2}.-\mathrm{sen}\left(q_0\right)}{(4.j+2)!}\right)$$ $$B_3=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-q_0)}^{4.j+3}.-\cos \left(q_0\right)}{(4.j+3)!}\right)$$ Pra função Cosseno, a coisa fica particularmente parecida: $$T_3(w_0,c)=C_0+C_1+C_2+C_3$$ $$C_0=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(c-w_0)}^{4.j}.\cos \left(w_0\right)}{(4.j)!}\right)$$ $$C_1=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(c-w_0)}^{4.j+1}.-\mathrm{sen}\left(w_0\right)}{(4.j+1)!}\right)$$ $$C_2=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(c-w_0)}^{4.j+2}.-\cos \left(w_0\right)}{(4.j+2)!}\right)$$ $$C_3=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(c-w_0)}^{4.j+3}.\mathrm{sen}\left(w_0\right)}{(4.j+3)!}\right)$$ Só que a mágica acontece quando a gente escolhe o 0 para ponto inicial para fazer as séries porque sen(0) = 0 e cos(0) = 1. Daí a coisa muda completamente de figura: $$T_2(0,b)=B_0+B_1+B_2+B_3$$ $$B_0=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-0)}^{4.j}.\mathrm{sen}\left(0\right)}{(4.j)!}\right)=0$$ $$B_1=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-0)}^{4.j+1}.\cos \left(0\right)}{(4.j+1)!}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{b^{4.j+1}}{(4.j+1)!}$$ $$B_2=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-0)}^{4.j+2}.-\mathrm{sen}\left(0\right)}{(4.j+2)!}\right)=0$$ $$B_3=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(b-0)}^{4.j+3}.-\cos \left(0\right)}{(4.j+3)!}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{-b^{4.j+3}}{(4.j+3)!}$$ $$T_3(0,c)=C_0+C_1+C_2+C_3$$ $$C_0=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(c-0)}^{4.j}.\cos \left(0\right)}{(4.j)!}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{c^{4.j}}{(4.j)!}$$ $$C_1=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(c-0)}^{4.j+1}.-\mathrm{sen}\left(0\right)}{(4.j+1)!}\right)=0$$ $$C_2=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(c-0)}^{4.j+2}.-\cos \left(0\right)}{(4.j+2)!}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{-c^{4.j+2}}{(4.j+2)!}$$ $$C_3=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{{(c-0)}^{4.j+3}.\mathrm{sen}\left(0\right)}{(4.j+3)!}\right)=0$$ Logo: $$T_2(0,b)=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{b^{4.j+1}}{(4.j+1)!}\right)+\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{-b^{4.j+3}}{(4.j+3)!}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{b^{4.j+1}}{(4.j+1)!}-\frac{b^{4.j+3}}{(4.j+3)!}$$ $$T_3(0,c)=\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{c^{4.j}}{(4.j)!}\right)+\left(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{-c^{4.j+2}}{(4.j+2)!}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{c^{4.j}}{(4.j)!}-\frac{c^{4.j+2}}{(4.j+2)!}$$ Podemos observar aqui, pelos termos dos somatório, que a série do seno forma um polinômio com potênias ímpares enquanto o cosseno forma um polinômio com potências pares. Se a sua função for na verdade uma soma de seno e cosseno, você acaba tendo um polinômio com potências pares e ímpares. $$\mathrm{G(s)}=\mathrm{cos(s)}+\mathrm{sen(s)}$$ $$\mathrm{G(d)}=T_4(0,d)=(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{d^{4.j}}{(4.j)!}-\frac{d^{4.j+2}}{(4.j+2)!})+(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{d^{4.j+1}}{(4.j+1)!}-\frac{d^{4.j+3}}{(4.j+3)!})$$ Mas faltava um ponto ainda. A identidade imaginária. Que aparecia em todos os termos ímpares do primeiro polinômio. Ora, a série cujo polinômio só possui expoentes ímpares é justamente a série do seno! Sendo assim basta multiplicar a série do seno pela identidade imaginária. Vamos acertar a função G(s) e a sua série de Taylor, um instante só: $$\mathrm{G(s)}=\mathrm{cos(s)}+i.\mathrm{sen(s)}$$ $$\mathrm{G(d)}=T_4(0,d)=(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{d^{4.j}}{(4.j)!}-\frac{d^{4.j+2}}{(4.j+2)!})+(i.\sum _{j=0}^{\infty }\frac{d^{4.j+1}}{(4.j+1)!}-\frac{d^{4.j+3}}{(4.j+3)!})$$ Eu vou colocar a identidade imaginária dentro do somatório: $$T_4(0,d)=(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{d^{4.j}}{(4.j)!}-\frac{d^{4.j+2}}{(4.j+2)!})+(i.\sum _{j=0}^{\infty }\frac{i.d^{4.j+1}}{(4.j+1)!}-\frac{i.d^{4.j+3}}{(4.j+3)!})$$ Só que eu vou me aproveitar que o imaginário ao quadrado é -1 pra poder tirar as operações de subtração $$T_4(0,d)=(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{d^{4.j}}{(4.j)!}+\frac{i^2.d^{4.j+2}}{(4.j+2)!})+(\sum _{j=0}^{\infty }\frac{i.d^{4.j+1}}{(4.j+1)!}+\frac{i^2.i.d^{4.j+3}}{(4.j+3)!})$$ Cara, agora é tudo soma. Da pra condensar em um somatório só! $$T_4(0,d)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{d^{4.j}}{(4.j)!}+\frac{i^2.d^{4.j+2}}{(4.j+2)!}+\frac{i.d^{4.j+1}}{(4.j+1)!}+\frac{i^3.d^{4.j+3}}{(4.j+3)!}$$ Como não faz diferença multiplicar as coisas por $i^{4.n}$ porque isso sempre vai dar 1, entáo eu vou multiplicar cada termo por $i^{4.j}$: $$T_4(0,d)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{i^{4.j}.d^{4.j}}{(4.j)!}+\frac{i^{4.j+2}.d^{4.j+2}}{(4.j+2)!}+\frac{i^{4.j+1}.d^{4.j+1}}{(4.j+1)!}+\frac{i^{4.j+3}.d^{4.j+3}}{(4.j+3)!}$$ Agora condensa legal $$T_4(0,d)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{d^j.i^j}{j!}$$ Como os polinômio de taylor da série T1 convergem para o mesmo polinômio da série T4, se usarmos a mesma variável podemos dizer que: $$T_1(0,a)=T_4(0,a)$$ Só que no infinito podemos dizer que a série de Taylor é igual a própria função que estavamos trabalhando Bom agora só precisamos calcular isso no ponto PI e verificar o valor: $$\mathrm{f(a)}=T_1(0,a)=T_4(0,a)=\mathrm{G(a)}$$ Então por transitividade: $$\mathrm{f(a)}=\mathrm{G(a)}$$ Mas essa ainda não é a identidade de Euler! Uma parte dela começa a aparecer quando avaliamos a função em $\pi$. $$f\left(\pi \right)=G\left(\pi \right)$$ $$e^{i.\pi }=\cos \left(\pi \right)+i.\mathrm{sen}\left(\pi \right)=-1$$ Logo: $$e^{i.\pi }+1=0$$