Pensando Sobre Matemática #67 - Série de Taylor

Hoje eu vou falar de uma coisa que é ridiculamente importante pra cálculo. Sim eu vou usar o Mathjax

Esse cara pode ser feio, mas se você estuda matemática pesada, certamente já deve ter ouvido falar dele.

Esse malandro aí da foto é Brook Taylor. E eu tenho certeza que você não deve ter escutado esse nome dessa forma, mas eu vou colocar de uma forma que rapidamente você vai compreender.

Série de Taylor

Pronto. Se você estudou engenharia certamente já sabe do que eu estou falando, se você nunca o fez certamente está mais perdido do que cego tentando escrever o volume da esfera, mas como a gente não é nem um pouco legal, a gente vai falar, não só do conceito da Série de Taylor, e porque diabos ela existe. Na verdade explicar a razão da evistência da série já explica mais ou menos o conceito, então simbora meter bronca.

Bom, se você não compreende muito de cálculo ou matemática, provavelmente vai se perder aqui porque ela utiliza dois conceitos. O conceito de somatório e o conceito de derivada. Eu devia tomar vergonha na cara e escrever uma postagem sobre derivada.

Eu faço isso ainda antes de concluir o meu plano. Calma.

Então como vocês já devem esperar, e como alguns já devem saber, a Série de Taylor é um Somatório. Séries e Somatórios são sinônimos matemáticos, então se alguém fala que está calculando uma série, ele está calculando um somatório. Só pra lembrar, o que é um somatório. $$\sum _{a\in A}f\left(a\right)$$ Agora vamos lá. Vamos pensar no que Taylor queria fazer antes de sair escrevendo. Os matemáticos sempre tiveram problemas com funções. Os caras conseguiam compreender bem os polinômios, apesar de só conseguirem solução pros polinômios de quarto grau ou menor, mas tinham sérios problemas para trabalhar com outros tipos de função. Tipo: $$g\left(x\right)=a^x$$ Ou se viesse uma função trigonométrica mais cabeluda como: $$h\left(\phi \right)=\mathrm{sen}\left(\phi \right)$$ Aí o cara chorava. Taylor pensou como contornar esse problema Em termos práticos, ele disse que qualquer função pode ser escrita como um polinômio infinito. Em outras palavras, você pode aproximar qualquer função por um polinômio. Quanto mais termos o seu polinômio tem, mais precisa vai ser sua série até que no infinito, o polinômio é a própria função.

É importante citar, apesar de ser uma parte mais pesada da matemática que funções que não pertencem ao espaco $C^{\infty }$ Não são aproximáveis por essas séries, e acredite, existem muito mais funções não aproximáveis do que aproximáveis.

Como funciona a série de Taylor? Você escolhe um ponto onde você sabe o valor da função que você quer aproximar, olha que você nem precisa conhecer a função inteira, só um ponto, e a partir daí você estimar os pontos mais próximos desse através da derivada do mesmo. Dependendo do intervalo, a derivada é uma excelente forma de aproximar os valores de uma função. É quase como querer calcular o sucessor e o antecessor de uma função só que no domínio real. Dá pra escrever essa aproximação da seguinte forma, dado que a é o ponto inicial onde a função se expande: $$f(a+e)=f\left(a\right)+e.\mathrm{f\text{'}}\left(a\right)$$ Em outras palavras, eu estou dizendo que minha função aqui é linear, mesmo se ela não for. Essa é a idéia da série de Taylor, dizer que a coisa é um polinômio. A variável que governa esse polinômio é justamente o passo que eu dou pra longe do ponto inicial. Pro polinômio ser perfeitamente fiel a função, você precisa adicionar o fator distância: $$f\left(e\right)=f\left(a\right)+(e-a).\mathrm{f\text{'}}\left(a\right)$$ Onde f'(a) é a derivada da função f no ponto a f(a).

Dá pra melhorar essa aproximação? Sem sombra de dúvidas, só que pra isso a gente vai ter que supor que a função é na verdade uma parábola ao invés de uma reta. Existe uma razão pra você pensar dessa forma ao invés de simplesmente tentar adicionar derivadas. A primeira é aquilo que eu disse no parágrafo anterior: dizer que a coisa é um polinômio. Segundo é porque não funciona. Existe uma forma muito fácil de verificar porquê não funciona. Só pegar uma parábola e tentar escrever o próximo valor depois de um ponto inicial só somando as derivadas. Esse trabalho eu vou deixar para vocês, mas a próxima aproximação para o polinômio de Taylor seria a seguinte: $$f(a+e)=f\left(a\right)+e.\mathrm{f\text{'}}\left(a\right)+\frac{e^2.f^2\left(a\right)}{2}$$ Ou adicionando a distância: $$f\left(e\right)=f\left(a\right)+(e-a).\mathrm{f\text{'}}\left(a\right)+\frac{{(e-a)}^2.f^2\left(a\right)}{2}$$ É importante frisar aqui que $f^2$ é na verdade a segunda derivada da função f e não a função ao quadrado.

Entender que não basta somar as derivadas para aproximar a função para um polinômio é importante para entender porque a série de Taylor tem a seguinte forma: $$f(a+y)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{y^i.f^i\left(a\right)}{i!}$$ Ou: $$f\left(y\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{{(y-a)}^i.f^i\left(a\right)}{i!}$$ A Wikipedia tem uma imagem muito legalzinha do seno aproximado por séries de Taylor. Dá pra ter uma boa noção do que a série representa olhando pra ela. Ele dá uma macetada porque ele vai só nos polinômios de grau ímpar, mas dá pra ter a noção do mesmo jeito. Como a imagem é creative commons eu posso trazer ela pra cá.

Nesse caso, cada cor é uma aproximação diferente O legal é que dá pra ver mais ou menos o ponto onde o polinômio começa a destoar da função original. Acho que isso é tudo sobre Série de Taylor. Isso também serviu pra me mostrar que eu ainda tenho que falar sobre derivadas pra conseguir consolidar esse tópico, mas por enquanto tá bom.


Imagens:
http://historyofsci.blogspot.com.br/2012/02/brook-taylor-much-more-than-series.html
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sintay.png