Pensando Sobre Matemática #2

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Muitas pessoas acham que a base da matemática são os números. Mal sabem elas que antes dos números existe um outro elemento muito mais básico que são os conjuntos. Sim, aquela coisa simples que a gente estuda no primário onde a gente coloca três circulos sobrepostos pra estudar união e interseção de conjuntos.

Conjuntos possuem muitas propriedades interessantes, especialmente quando a quantidade de elementos deles tendem ao infinito. Os próprios números estão fundamentados sobre a teoria dos conjuntos. Você sabia que a quantidade de números racionais e inteiros é a mesma?

Ok, não é exatamente a mesma. Mas a cardinalidade dos dois é igual. Isso significa que para cada número racional eu consigo associar um numero inteiro. Utiliza-se um argumento tabular infinito para isso utilizando duas linhas de números inteiros. Isso é possível de se fazer porque curiosamente você consegue associar todos os pares de um conjunto de inteiros a outro conjunto de inteiros.

Pois é. Quando os conjuntos tendem ao infinito, a coisa fica um bocado mais complicada/interessante, mas eles não foram feitos só pra brincar dessa forma. A teoria dos conjuntos é muito usada em probabilidades e análise combinatória, até porque a probabilidade acaba pegando emprestado alguns conceitos de combinação.

Só que análise combinatória utiliza conjuntos finitos, até porque é impossível calcular a quantidade de elementos de conjuntos infinitos. Imagine então calcular quantidades que são geradas através de relações entre os conjuntos. Isso é especialmente útil em computação que está sempre calculando quantidades grandes(porém finitas) de coisas. Todos esses conceitos de conjutos são importantissimos para as áreas de sistemas e de bancos de dados.

Muitas relações são simples mas eu quero destacar especialmente o produto cartesiano:

$$A=\{1,2\}$$ $$B=\{3,4\}$$ $$A⨯B=?$$ Note aqui, que os elementos dos conjuntos A e B estão soltos, mas nada impede que os elementos de um conjunto sejam outros conjuntos. Na verdade: $$A⨯B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$$ O produto cartesiano gera um novo conjunto cujos elementos são pares ordenados dos conjuntos usados na operação. Isso é muito utilizado em bancos de dados e modelagem de sistemas pois ele é excelente para representar a quantidade de relações entre conjuntos de elementos.

Obviamente ele pode ser usados em outros lugares. Muitos de vocês já devem ter ouvido falar desse cara: $${ℝ}^2$$ Só que: $${ℝ}^2=ℝ⨯ℝ$$ O produto cartesiano é muito importante na teoria dos conjuntos pois gera os pares ordenados que são bases da algebra. E ele é um conceito bastante simples cuja importância é cruelmente ignorada até estudarmos as coisas a fundo.

Conjuntos nos permitem isolar espaços e trabalhar com coisas conhecidas sem nos preocuparmos muito com o desconhecido(desde que ele não influencie no sistema que estamos estudando). Quando adicionamos outros sabores a teoria dos conjuntos iremos chegar a grupos e anéis, mas isso já é papo para outro post.