Pensando Sobre Matemática #66 - Dízimas - Parte 2

E assim seguimos nós falando dessa coisa que se estende indefinidamente.

Enquanto nós estamos falando, a dízima continua. O MathJax vai nos ajudar a resolvê-la

Então, eu fiz uma coisa muito feia. Eu assumi que vocês iam acreditar que toda a dízima racional necessariamente é periódica. Não é que não seja, mas é que meu argumento cai por terra se existir uma única dízima não periódica que pode ser escrita como forma de fração. Então hoje eu vou me dedicar basicamente a provar que se uma fração gera uma dízima, essa dízima tem necessariamente que ser periódica.

Então. Como a gente faz isso? Pra falar a verdade eu mesmo não tenho muita noção então eu vou criar um argumento que seja convincente o suficiente pra mim também. Eu tenho uma noção do porque isso acontece, mas eu vou precisar desenvolver isso um pouco melhor pra que a coisa não fique horrenda. Na verdade, utilizando o algoritmo padrão pra divisão que a gente aprende lá na quarta série, a coisa fica até relativamente fácil de se explicar, até porque as dízimas surgem da natureza da notação decimal. No mundo dos racionais você apenas teria frações. $$a/b=\frac{a}{b}$$ Só que no mundo dos inteiros, a divisão podia ser escrita da seguinte forma: Se b divide a, então... $$a/b\to a=b.q+r$$ Onde q é o quociente e r é o resto.

No mundo dos inteiros não tem fração, então o que a galera queria fazer era jogar o resto pra 0, só que precisava fazer isso de modo que não agredisse o quociente. O resto já é menor que o divisor, então não dá pra fazer divisão com ele, não dá pra ir além no mundo dos inteiros. A não ser que nós façamos uma transformação no resto. Já que possuímos a notação de fração, que só nos deu uma forma diferente de olhar para as divisoes, podemos fazer alguma brincadeira com ela. Se a gente transformar o resto e depois dividir a gente pode conseguir um algarismo novo, e se tudo der certo a gente chega no 0, caso contrário pelo menos a gente chega em um quociente que faça o resto ser bastante próximo de 0. Só que no mundo dos inteiros, a divisão só era possível se: $$a>b\to a/b\to a=b.q+r$$ O resto, por definição é menor do que o divisor: $$b>r$$ Então a gente não vai dividir o resto e sim algo superior a ele. Graças a notação de fração a gente pode fazer o seguinte: $$\frac{a}{b}=\frac{c.a}{c.b}$$ Isso é particularmente difícil de provar, apesar de ser intuitivamente fácil. Demonstrar relações de equivalência não é tão trivial então aqui eu vou precisar que vocês aceitem isso pra eu poder fazer: $$r=\frac{r}{1}=\frac{c.r}{c}=\frac{\mathrm{10}.r}{\mathrm{10}}$$ Nesse caso estamos supondo que $\mathrm{10}.r$ vai ser maior que b. Se b fosse maior que 10, bastaria utilizarmos a próxima potëncia de 10. Então dividindo esse resto: $$(\mathrm{10}.r)/b\to \mathrm{10}.r=b.q_1+r_1$$ E agora nós vamos nos valer do fato que multiplicação e divisão são operações comutativas entre si no mundo dos racionais. $$\mathrm{10}.r/b=b.q_1+r_1\to r=\frac{b.q_1+r_1}{\mathrm{10}}$$ Mas por que estamos fazendo isso? Na verdade estamos nos valendo da notação posicional. Cada algarismo na notação posicional é multiplicado por uma potência de 10. O que nós estamos fazendo aqui é achando os números que estão nas potências negativas. Até porque quando o expoente de um número é negativo ele vira fração. $$a^{-b}={\left(\frac{1}{a}\right)}^b$$ Logo o que acontece é que: $${\mathrm{10}}^{-1}={\left(\frac{1}{\mathrm{10}}\right)}^1=\frac{1}{\mathrm{10}}$$ E para a notação posicional, utilizando um exemplo: $$\mathrm{423.6}=4.{\mathrm{10}}^2+2.{\mathrm{10}}^1+3.{\mathrm{10}}^0+6.{\mathrm{10}}^{-1}$$ Então aquela divisão fica um pouco mais complicada e aparece uma fração nela porque r tem um valor equivalente: $$a/b\to a=b.q+r=b.q+\frac{b.q_1+r_1}{\mathrm{10}}$$ Só que por evidência, olha o quociente se formando: $$a=b.(q+\frac{q_1}{\mathrm{10}})+\frac{r_1}{\mathrm{10}}$$ Repara então o que acontece com o 1/2 quando a gente aplica esse raciocínio. $$1/2\to 1=2.0+1=2.0+\frac{2.q_1+r_1}{\mathrm{10}}$$ Pra saber quanto é $q_1$ e $r_1$: $$(\mathrm{10}.r)/b\to \mathrm{10}.r=b.q_1+r_1$$ $$(\mathrm{10}.1)/2=\mathrm{10}/2\to \mathrm{10}=2.5+0$$ Logo: $$1/2\to 1=2.0+1=2.0+\frac{2.5+0}{\mathrm{10}}$$ Resto 0! Olha lá o quociente se formando: $$a=b.(q+\frac{q_1}{\mathrm{10}})+\frac{r_1}{\mathrm{10}}$$ $$1=2.(0+\frac{5}{\mathrm{10}})+\frac{0}{\mathrm{10}}=2.(0+\frac{5}{\mathrm{10}})+0$$ $$1/2=\mathrm{0.5}$$ O que será que acontece então com o 1/3? $$1/3\to 1=3.0+1=3.0+\frac{3.q_1+r_1}{\mathrm{10}}$$ $$(\mathrm{10}.1)/3=\mathrm{10}/3\to \mathrm{10}=3.3+1$$ $$1/3\to 1=3.0+1=3.0+\frac{3.3+1}{\mathrm{10}}$$ $$1=3.(0+\frac{3}{\mathrm{10}})+\frac{1}{\mathrm{10}}$$ Opa, peraí o resto não deu 0 ainda. Vamos pegar esse 1/10 e transformar esse numerador em algo divisível por 3. $$(\mathrm{10}.1)/3=\mathrm{10}/3\to \mathrm{10}=3.3+1$$ $$1=3.(0+\frac{3}{\mathrm{10}})+\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{100}}=3.(0+\frac{3}{\mathrm{10}})+\frac{3.3+1}{\mathrm{100}}$$ Vamos colocar em evidência: $$3.(0+\frac{3}{\mathrm{10}})+\frac{3.3+1}{\mathrm{100}}=3.(0+\frac{3}{\mathrm{10}}+\frac{3}{\mathrm{100}})+\frac{1}{\mathrm{100}}$$ Repare que ele está gerando uma soma infinita. Isso acontece porque o valor do resto em algum momento se repete. A partir desse momento, o ciclo se inicia porque o processo usado para os próximos algarismos continua sendo o mesmo. Na verdade, devido ao fato do resto sempre precisar ser menor que o divisor, a quantidade de valores possíveis para os restos secundários é limitada.

Então vamos voltar a generalização. E isso naturalmente vai gerar uma quantidade de restos e quocientes indefinida que fica mais fácil escrevendo como somatório. $$a/b\to a=b.(q+\sum _{i=1}^n\frac{q_i}{{\mathrm{10}}^i})+\frac{r_n}{{\mathrm{10}}^n}$$ Pra fechar a prova, é necessário demonstrar que um mesmo resto secundário sempre gera o mesmo valor para o próximo resto. Mas isso é trivial porque a mesma operação de divisão não pode gerar dois valores diferentes, logo o ciclo se fecha a partir do momento que um resto $r_j$ é igual a um resto $r_i$ pois a partir desse momento os quocientes irão se repetir formando o período das dízimas feitas por frações.

Ok, isso já é o sufciente. Acho que á consegui provar pra vocês que toda dízima formada por números racionais é certamente periódica.

Por fim, esse argumento ainda pode ser melhorado porque as potências de 10 só vão aparecer bem definidas se o seu divisor for menor que 10. Caso contrário as potências serão de alguma potência de 10, mas isso não influência no resultado final.

Podemos dar esse post por encerrado. A gente continua falando de dízimas na próxima.