Pensando Sobre Matemática #60 - Multiplicando

Olá viajantes da matemática, ou pessoas sem nada para fazer! Hoje nós vamos falar sobre multiplicação na aritimética. Ou seja, a gente não vai trabalhar com funções.

Por exemplo, vemos acima uma multiplicação de ninjas.

Lembrando que esse post é patrocinado pela galera do MathJax, então ligue o seu Javascript e segue essa bagaça!

Multiplicação é uma das operações mais conhecidas da matemática. As pessoas geralmente englobam ela em um conjunto de quatro operações fundamentais mas há quem discorde do quão fundamental essas quatro operações são. O que importa aqui pra gente é entender como a multiplicação funciona, notação, utilidade... Essas parada ae.

Bom, pra que é que serve multiplicação? Eu particularmente não sei a história, mas eu diria que um cara cansado daquela coisa de escrever um monte de número e somar tudo, pensou em uma forma mais compacta e inteligente. E vamos combinar também que o conceito de somatório atual utiliza muito mais coisas que os caras nem estavam(ou será que estavam) pensando na época. Os malandros só queriam sintetizar somas muito longas e repetitivas. Então o que antes dava trabalho:

$$5+5+5+5+5+5+5$$

Agora não dá mais!

$$5*7$$

Isso é sensacional! Agora tem um novo operador pra fazer uma porção de somas. Na verdade esse operador tem toda uma questão de conceito por trás dele. Ele representa muito mais do que um monte de somas. Ele representa exatamente a multiplicidade das coisas. Se 4 campos contém 5 plantações de trigo, então:

$$T=4*5$$

Só fica aí o problema, eu tenho um novo conceito mas como é que eu faço contas com isso?

Os matemáticos tem uma mania muito chata de usar aquilo que já existe para definir aquilo que ainda não existe. Se você não sabe multiplicar coisas, mas sabe somar, então a gente dá um jeito pra você poder fazer a operação.

$$T=4+4+4+4+4$$

Na verdade eu já falei isso. Que a multiplicação é uma sequência de somas. Só pra fixar melhor eu vou usar uma variável aqui e deixar a perguntinha, depois se você quiser responde nos comentários ou não. Apenas reescreva as expressões abaixo usando somas.

$$4*3=?$$ $$5*3=?$$ $$n*3=?$$

Agora continuando. Agora que você sabe somar, você já tem uma forma de calcular a multiplicação, mas se você parar pra pensar, isso é terrivelmente ineficiente para números muito grandes, não concorda?

$$\mathrm{77}*\mathrm{3216}=?$$

Nós temos a solução. O nome dela é propriedade distributiva.

$$a*(b+c)=a*b+a*c$$

Qual é a grande brincadeira aqui? A propriedade distributiva diz que a gente pode transformar a multiplicação de uma soma em uma soma de multiplicações. Isso só nos ajuda se existe alguma multiplicação específica muito fácil de se fazer, e para a nossa fecilidade ela existe. Contemplem a multiplicação por 10.

$$4*\mathrm{10}=\mathrm{40}$$ $$\mathrm{11}*\mathrm{10}=\mathrm{110}$$

Obviamente não só por 10 mas por todas as suas potências. Essa operação de multiplicação por 10 pode ser entendida como "shift", ou "deslocamento".

$$4*\mathrm{100}=\mathrm{400}$$ $$\mathrm{11}*\mathrm{1000}=\mathrm{11000}$$

Isso significa que você pode pegar um número grande, escrevê-lo como uma soma de coisas que você conhece e depois somar tudo de novo. Por exemplo, se você quiser multiplicar algo por 111. Você pode multiplicar dessa forma:

$$\mathrm{47}*\mathrm{111}=\mathrm{47}*(\mathrm{100}+\mathrm{10}+1)$$

Como multiplicar por 100 por 10 e por 1 é bastante fácil essa multiplicação pode ser feita em 3 deslocamentos e 2 somas, ao invés de 110 somas. Isso porque multiplicar por 100 na verdade significa deslocar duas vezes. Você vai obter a seguinte soma.

$$\mathrm{47}*\mathrm{111}=\mathrm{47}*(\mathrm{100}+\mathrm{10}+1)=\mathrm{4700}+\mathrm{470}+\mathrm{47}$$

Legal. Isso é bacana, mas existem outros algoritmos de multiplicação de números espalhados aí pelo mundo. Alguns são mais eficientes que outros em determinados casos, esses dois algoritmos apresentados são só duas formas de se realizar a multiplicação. Por enquanto é só! E venham para a próxima aula!